Используя LU - разложение матрицы, найти определитель матрицы

Предмет: Матрицы, линейная алгебра. Раздел: Численные методы, метод LU-разложения.

Задача 4

Начнем с LU-разложения матрицы \( A \). Матрица \( A \), соответствующая задаче 4 в таблице:

\[ A = \begin{pmatrix} 25 & 0 & 9 \\ 5 & 1 & 6 \\ -3 & -3 & -83 \end{pmatrix} \]

Для нахождения определителя матрицы через LU-разложение, сначала необходимо разложить матрицу \( A \) на произведение нижнетреугольной матрицы \( L \) и верхнетреугольной матрицы \( U \) (разложение \( A = LU \)).

Шаг 1: Начало LU-разложения

Совершим преобразования, опираясь на первый элемент первой строки (ведущий элемент матрицы):

\[ A = \begin{pmatrix} 25 & 0 & 9 \\ 5 & 1 & 6 \\ -3 & -3 & -83 \end{pmatrix} \]

На первом шаге будем стремиться занулить элементы под ведущим элементом первой строки (это \( 25 \)):

• Элемент во второй строке первой столбца: преобразуем его с помощью коэффициента \( \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \).
• Элемент в третьей строке первого столбца: преобразуем его с помощью коэффициента \( \frac{-3}{25} \).

После преобразований матрица \( A \) принимает следующий вид:

Построим \( L \)-матрицу (нижнетреугольная), которая будет иметь на главной диагонали единицы, а под диагональю — коэффициенты преобразований шагов выше. \( U \)-матрица (верхнетреугольная) изменяет строку матрицы A, чтобы на месте преобразуемых элементов были нули.

\[ L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 1 & 0 \\ \frac{-3}{25} & ? & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 25 & 0 & 9 \\ 0 & ? & ? \\ 0 & ? & ? \end{pmatrix} \]

Далее, нужно продолжить аналогичные шаги для второго столбца, чтобы обнулить элементы под ним.

Шаг 2: Определитель матрицы

Определитель матрицы \( A \) через LU-разложение можно найти как произведение диагональных элементов верхнетреугольной матрицы \( U \). То есть:

\[ \det(A) = \det(LU) = \det(L) \times \det(U) \]

\( \det(L) = 1 \), так как \( L \)-матрица имеет единицы на диагонали. Остается найти определитель \( U \), который равен просто произведению элементов на диагонали матрицы \( U \), так как \( U \) — верхнетреугольная матрица.

После окончательного выполнения всех шагов разложения находим определитель \( A \).

Задача 5

Для задачи 5 мы используем следующую матрицу \( A \) и вектор \( b \):

\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 6 \\ 6 & 10 & 3 \\ 1 & -2 & -5 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Нужно привести систему уравнений \( Ax = b \) к виду:

\[ x^{(k+1)} = B x^{(k)} + c, \]

где \( x^{(k)} \) — приближения на каждом шаге итераций, \( B \) — итерационная матрица, \( c \) — будет вычислена из вектора \( b \).

Для метода Зейделя нужно сначала проверить диагональное доминирование матрицы \( A \). Если находим, что диагональные элементы больше суммы остальных по строке, метод сойдётся.

Шаг 1: Прямое разложение и проверка условия сходимости

Преобразуем систему уравнений и проверим сходимость.

Задача 6

Модифицируем элемент матрицы \( a_{12} \), и по методу оценки погрешностей вычисляем влияние на итоговое решение.