Численные методы решения СЛАУ (Систем линейных алгебраических уравнений)

Предмет: Высшая математика

Раздел: Численные методы решения СЛАУ (Систем линейных алгебраических уравнений)

Задача решается методом итераций с точностью 0.01, применяя начальное приближение (0,7m; 1; 2; 0,5). Так как \( m = 4 \), начальное приближение для переменных будет \( (2,8; 1; 2; 0,5) \).

Для решения СЛАУ итерационным методом (например, методом простых итераций (Якоби) или методом Зейделя) нужно каждое уравнение выразить относительно соответствующей переменной \(x_1, x_2, x_3, x_4\), а затем решать систему с использованием Excel.

Шаги решения

1. Приведение системы уравнений к явному виду:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} 3x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 3m \\ x_1 - 4x_2 + x_3 - x_4 = m - 6 \\ -x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 15 - m \\ x_1 + 2x_2 + x_3 - 5x_4 = m + 2 \\ \end{cases} \]

Подставим \( m = 4 \):

\[ \begin{cases} 3x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 12 \\ x_1 - 4x_2 + x_3 - x_4 = -2 \\ -x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 11 \\ x_1 + 2x_2 + x_3 - 5x_4 = 6 \\ \end{cases} \]

2. Выражение переменных в явном виде:

• Из первого уравнения выразим \(x_1\):

  \[ x_1 = \frac{12 - x_2 + x_3 - x_4}{3} \]

• Из второго уравнения выразим \(x_2\):

  \[ x_2 = \frac{x_1 + x_3 - x_4 + 2}{4} \]

• Из третьего уравнения выразим \(x_3\):

  \[ x_3 = \frac{11 + x_1 - x_2 - x_4}{4} \]

• Из четвёртого уравнения выразим \(x_4\):

  \[ x_4 = \frac{x_1 + 2x_2 + x_3 - 6}{5} \]

3. Итерационный процесс в Excel:

Для решения этой задачи в Excel, необходимо выполнить следующий план работы.

Шаг 1:

Создайте таблицу в Excel:

- Заполните начальные значения переменных в строке "0". Они указаны как \( x_1^{(0)} = 2.8 \), \( x_2^{(0)} = 1 \), \( x_3^{(0)} = 2 \), \( x_4^{(0)} = 0.5 \).

- Теперь для следующей итерации (строка 1) заполняйте ячейки с формулами:

• Для \(x_1\):

  \[ x_1 = (12 - x_2^{(0)} + x_3^{(0)} - x_4^{(0)}) / 3 \]

  Стандартная запись формулы в Excel для первой итерации в ячейке для \(x_1\):

  =(12 - B2 + C2 - D2)/3

  \( x_1^{(1)} \) зависит от значений \( x_2^{(0)}, x_3^{(0)}, x_4^{(0)} \).

• Для \(x_2\):

  \[ x_2 = (x_1^{(0)} + x_3^{(0)} - x_4^{(0)} + 2) / 4 \]

  Формула в Excel:

  =(A2 + C2 - D2 + 2)/4

• Для \(x_3\):

  \[ x_3 = (11 + x_1^{(0)} - x_2^{(0)} - x_4^{(0)}) / 4 \]

  Формула в Excel:

  =(11 + A2 - B2 - D2)/4

• Для \(x_4\):

  \[ x_4 = (x_1^{(0)} + 2x_2^{(0)} + x_3^{(0)} - 6) / 5 \]

  Формула в Excel:

  =(A2 + 2*B2 + C2 - 6)/5

Шаг 2:

Скопируйте формулы для последующих итераций вниз по таблице, используя значения новых итераций как данные.

Шаг 3:

Рассматривайте, связаны ли новые вычисленные значения переменной с предыдущими. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока разности между значениями на текущей и предыдущей итерациях не станут меньше заданной точности \(\epsilon = 0.01\).

Окончание

Как только изменения станут меньше 0.01 для каждой переменной, итерационный процесс завершается, и последние значения переменных \(x_1, x_2, x_3, x_4\) и будут решением системы. Так происходит выполнение итерационного метода в Excel для решения СЛАУ.