Численное вычисления неопределённого интеграла по формуле трапеций для различных значений параметра

Предмет: Математика (раздел: Численные методы) Задача относится к разделу численного анализа и требует численного вычисления неопределённого интеграла по формуле трапеций для различных значений параметра \( n \).

Постановка задачи:

Шаги для решения:

1. Формула метода трапеций: Метод трапеций используется для численного вычисления интегралов и даётся формулой: \[ I \approx \frac{h}{2} \left( f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right) \] где:
   • \( h = \frac{b - a}{n} \) — шаг разбиения (в нашем случае \( a = 0 \) и \( b = 2 \)),
   • \( x_i \) — узлы разбиения,
   • \( f(x) = \frac{1}{4 + x^2} \) — подынтегральная функция в данном примере,
   • \( n \) — число разбиений.
2. Вычисления для \( n = 12 \): Сначала найдём шаг \( h \), когда \( n = 12 \). \[ h = \frac{2 - 0}{12} = \frac{1}{6} \] Точки разбиения \( x_i \) для этой сетки будут: \[ x_0 = 0, \quad x_1 = \frac{1}{6}, \quad x_2 = \frac{2}{6}, \quad \dots, \quad x_{12} = 2 \] Теперь вычисляем значение функции \( f(x) = \frac{1}{4 + x^2} \) в этих точках: \[ f(x_0) = f(0) = \frac{1}{4 + 0^2} = 0.25 \] \[ f(x_1) = f\left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{4 + \left( \frac{1}{6} \right)^2} = 0.24818 \] \[ f(x_2) = f\left( \frac{2}{6} \right) = \frac{1}{4 + \left( \frac{2}{6} \right)^2} = 0.24272 \] и так далее для всех точек вплоть до \( f(x_{12}) \). Используя формулу трапеций, можем подставить эти значения и вычислить сумму.
3. Вычисления для \( n = 6 \): Также вычисляем шаг: \[ h = \frac{2 - 0}{6} = \frac{1}{3} \] Тогда точки разбиения будут: \[ x_0 = 0, \quad x_1 = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{2/3}, \quad \dots, \quad x_6 = 2 \] Аналогично, вычисляем значения \( f(x) \) для этих точек.
4. Промежуточное решение: После того как все значения будут посчитаны, подставляем их в формулу трапеций и вычисляем результат для каждого \( n \).
5. Ответ: В качестве ответа вводим значение с тремя знаками после запятой для \( n = 12 \), затем через запятую значение погрешности в формате \( x \cdot 10^{-4} \).

Необходимо численно вычислить интеграл: \[ \int_0^2 \frac{dx}{(4 + x^2)} \] по формуле трапеций, приняв количество разбиений \( n = 12 \) и \( n = 6 \).