Численно вычислить определённый интеграл с помощью формулы центральных прямоугольников

Предмет: Математика

Раздел: Численное интегрирование (Численные методы)

Для данной задачи нам нужно численно вычислить определённый интеграл с помощью формулы центральных прямоугольников, а именно:

\[ \int_{0}^{2} \frac{dx}{4 + x^2} \]

Полученный результат нужно вычислить для \( n = 12 \) и \( n = 6 \), где \( n \) — это количество разбиений.

Формула центральных прямоугольников

Формула численного интегрирования по методу центральных прямоугольников имеет вид:

\[ I \approx h \sum_{i=1}^{n} f\left(x_i^*\right), \]

где:

• \( h = \frac{b - a}{n} \) — шаг разбиения отрезка интегрирования \([a, b]\),
• \( x_i^* = a + \left(i - \frac{1}{2}\right) h \) — центральная точка каждого подотрезка,
• \( f(x_i^*) \) — значение подынтегральной функции в центральной точке,
• \( n \) — количество подынтегральных интервалов.

1. Вычисление при \( n = 12 \)

Дано:

• \( a = 0 \),
• \( b = 2 \),
• \( n = 12 \),
• \( f(x) = \frac{1}{4 + x^2} \).

Шаг интегрирования:

\[ h = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{12} = \frac{2}{12} = 0.1667. \]

Теперь вычислим средние точки для каждого подотрезка:

\[ x_i^* = a + \left(i - \frac{1}{2}\right) h = 0 + \left(i - 0.5\right) \cdot 0.1667. \]

Тогда для \( i = 1, 2, ..., 12 \), получаем 12 значений \( x_i^* \):

\[ x_1^* = 0.08335, x_2^* = 0.25, x_3^* = 0.4167, \dots, x_{12}^* = 1.9167. \]

Теперь вычисляем значения функции \( f(x_i^*) = \frac{1}{4 + x_i^*^2} \) для каждого \( x_i^* \). Значения функции:

1. \( f(0.08335) = \frac{1}{4 + (0.08335)^2} \approx 0.24981 \).
2. \( f(0.25) = \frac{1}{4 + (0.25)^2} \approx 0.24138 \).
3. \( f(0.4167) = \frac{1}{4 + (0.4167)^2} \approx 0.22960 \).
4. \( f(0.58335) = \frac{1}{4 + (0.58335)^2} \approx 0.21514 \).
5. \( f(0.75) = \frac{1}{4 + (0.75)^2} \approx 0.19802 \).
6. \( f(0.9167) = \frac{1}{4 + (0.9167)^2} \approx 0.17861 \).
7. \( f(1.08335) = \frac{1}{4 + (1.08335)^2} \approx 0.15739 \).
8. \( f(1.25) = \frac{1}{4 + (1.25)^2} \approx 0.13494 \).
9. \( f(1.4167) = \frac{1}{4 + (1.4167)^2} \approx 0.11192 \).
10. \( f(1.58335) = \frac{1}{4 + (1.58335)^2} \approx 0.08896 \).
11. \( f(1.75) = \frac{1}{4 + (1.75)^2} \approx 0.06666 \).
12. \( f(1.9167) = \frac{1}{4 + (1.9167)^2} \approx 0.04541 \).

Теперь складываем все значения функции и умножаем результат на шаг \( h \):

\[ I_{n=12} \approx 0.1667 \times \left(0.24981 + 0.24138 + 0.22960 + 0.21514 + 0.19802 + 0.17861 + 0.15739 + 0.13494 + 0.11192 + 0.08896 + 0.06666 + 0.04541 \right). \]

Выполняем сложение:

\[ I_{n=12} \approx 0.1667 \times 1.91784 \approx 0.31956. \]

2. Вычисление при \( n = 6 \)

Теперь повторим те же действия, но при \( n = 6 \).

Шаг интегрирования:

\[ h = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{6} = \frac{2}{6} = 0.3333. \]

Центральные точки:

\[ x_1^* = 0.1667, x_2^* = 0.5, x_3^* = 0.8333, x_4^* = 1.1667, x_5^* = 1.5, x_6^* = 1.8333. \]

Вычисляем значения функции \( f(x_i^*) \):

1. \( f(0.1667) \approx 0.24691 \),
2. \( f(0.5) \approx 0.23529 \),
3. \( f(0.8333) \approx 0.18207 \),
4. \( f(1.1667) \approx 0.15504 \),
5. \( f(1.5) \approx 0.11765 \),
6. \( f(1.8333) \approx 0.05606 \).

Суммируем значения функции и умножаем на шаг \( h \):

\[ I_{n=6} \approx 0.3333 \times \left(0.24691 + 0.23529 + 0.18207 + 0.15504 + 0.11765 + 0.05606 \right) \]

\[ I_{n=6} \approx 0.3333 \times 0.99302 \approx 0.33101. \]

3. Рассчет погрешности

Погрешность можно оценить как абсолютное значение разности двух численных значений:

\[ \text{Погрешность} = \left| I_{n=12} - I_{n=6} \right| = \left| 0.31956 - 0.33101 \right| = 0.01145. \]

Теперь приводим ответ в требуемом формате:

Для \( n = 12 \): \( 0.320 \), Погрешность: \( 1.15 \cdot 10^{-3} \).

Ответ:

\[ 0.320; 1.15 \cdot 10^{-3}. \]