Численно вычислить определённый интеграл с помощью формулы центральных прямоугольников

Предмет: Математика

Раздел: Численное интегрирование (Численные методы)

Для данной задачи нам нужно численно вычислить определённый интеграл с помощью формулы центральных прямоугольников, а именно:

$\text{[}{\int }_0^2\frac{dx}{4+x^2}\text{]}$

Полученный результат нужно вычислить для $\text{(}n=12\text{)}$ и $\text{(}n=6\text{)}$, где $\text{(}n\text{)}$ — это количество разбиений.

Формула центральных прямоугольников

Формула численного интегрирования по методу центральных прямоугольников имеет вид:

$\text{[}I\approx h\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i^{\ast }\right),\text{]}$

где:

• $\text{(}h=\frac{b-a}{n}\text{)}$ — шаг разбиения отрезка интегрирования $\text{(}[a,b]\text{)}$,
• $\text{(}{x}_i^{\ast }=a+(i-\frac{1}{2})h\text{)}$ — центральная точка каждого подотрезка,
• $\text{(}f(x_i^{\ast })\text{)}$ — значение подынтегральной функции в центральной точке,
• $\text{(}n\text{)}$ — количество подынтегральных интервалов.

1. Вычисление при $\text{(}n=12\text{)}$

Дано:

• $\text{(}a=0\text{)}$,
• $\text{(}b=2\text{)}$,
• $\text{(}n=12\text{)}$,
• $\text{(}f(x)=\frac{1}{4+x^2}\text{)}$.

Шаг интегрирования:

$\text{[}h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{12}=\frac{2}{12}=0.1667.\text{]}$

Теперь вычислим средние точки для каждого подотрезка:

$\text{[}{x}_i^{\ast }=a+(i-\frac{1}{2})h=0+(i-0.5)\cdot 0.1667.\text{]}$

Тогда для $\text{(}i=1,2,...,12\text{)}$, получаем 12 значений $\text{(}{x}_i^{\ast }\text{)}$:

$\text{[}{x}_1^{\ast }=0.08335,x_2^{\ast }=0.25,x_3^{\ast }=0.4167,\dots ,x_{12}^{\ast }=1.9167.\text{]}$

Теперь вычисляем значения функции $\text{Double exponent: use braces to clarify}$ для каждого $\text{(}{x}_i^{\ast }\text{)}$. Значения функции:

1. $\text{(}f(0.08335)=\frac{1}{4+(0.08335{)}^2}\approx 0.24981\text{)}$.
2. $\text{(}f(0.25)=\frac{1}{4+(0.25{)}^2}\approx 0.24138\text{)}$.
3. $\text{(}f(0.4167)=\frac{1}{4+(0.4167{)}^2}\approx 0.22960\text{)}$.
4. $\text{(}f(0.58335)=\frac{1}{4+(0.58335{)}^2}\approx 0.21514\text{)}$.
5. $\text{(}f(0.75)=\frac{1}{4+(0.75{)}^2}\approx 0.19802\text{)}$.
6. $\text{(}f(0.9167)=\frac{1}{4+(0.9167{)}^2}\approx 0.17861\text{)}$.
7. $\text{(}f(1.08335)=\frac{1}{4+(1.08335{)}^2}\approx 0.15739\text{)}$.
8. $\text{(}f(1.25)=\frac{1}{4+(1.25{)}^2}\approx 0.13494\text{)}$.
9. $\text{(}f(1.4167)=\frac{1}{4+(1.4167{)}^2}\approx 0.11192\text{)}$.
10. $\text{(}f(1.58335)=\frac{1}{4+(1.58335{)}^2}\approx 0.08896\text{)}$.
11. $\text{(}f(1.75)=\frac{1}{4+(1.75{)}^2}\approx 0.06666\text{)}$.
12. $\text{(}f(1.9167)=\frac{1}{4+(1.9167{)}^2}\approx 0.04541\text{)}$.

Теперь складываем все значения функции и умножаем результат на шаг $\text{(}h\text{)}$:

$\text{[}{I}_{n=12}\approx 0.1667\times (0.24981+0.24138+0.22960+0.21514+0.19802+0.17861+0.15739+0.13494+0.11192+0.08896+0.06666+0.04541).\text{]}$

Выполняем сложение:

$\text{[}{I}_{n=12}\approx 0.1667\times 1.91784\approx 0.31956.\text{]}$

2. Вычисление при $\text{(}n=6\text{)}$

Теперь повторим те же действия, но при $\text{(}n=6\text{)}$.

Шаг интегрирования:

$\text{[}h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{6}=\frac{2}{6}=0.3333.\text{]}$

Центральные точки:

$\text{[}{x}_1^{\ast }=0.1667,x_2^{\ast }=0.5,x_3^{\ast }=0.8333,x_4^{\ast }=1.1667,x_5^{\ast }=1.5,x_6^{\ast }=1.8333.\text{]}$

Вычисляем значения функции $\text{(}f(x_i^{\ast })\text{)}$:

1. $\text{(}f(0.1667)\approx 0.24691\text{)}$,
2. $\text{(}f(0.5)\approx 0.23529\text{)}$,
3. $\text{(}f(0.8333)\approx 0.18207\text{)}$,
4. $\text{(}f(1.1667)\approx 0.15504\text{)}$,
5. $\text{(}f(1.5)\approx 0.11765\text{)}$,
6. $\text{(}f(1.8333)\approx 0.05606\text{)}$.

Суммируем значения функции и умножаем на шаг $\text{(}h\text{)}$:

$\text{[}{I}_{n=6}\approx 0.3333\times (0.24691+0.23529+0.18207+0.15504+0.11765+0.05606)\text{]}$

$\text{[}{I}_{n=6}\approx 0.3333\times 0.99302\approx 0.33101.\text{]}$

3. Рассчет погрешности

Погрешность можно оценить как абсолютное значение разности двух численных значений:

$\text{[}\text{Погрешность}=|I_{n=12}-I_{n=6}|=|0.31956-0.33101|=0.01145.\text{]}$

Теперь приводим ответ в требуемом формате:

Для $\text{(}n=12\text{)}$: $\text{(}0.320\text{)}$, Погрешность: $\text{(}1.15\cdot {10}^{-3}\text{)}$.

Ответ:

$\text{[}0.320;1.15\cdot {10}^{-3}.\text{]}$