Предмет: Математика
Раздел: Численное интегрирование (раздел численного анализа)
Задание:
Вам необходимо численно вычислить интеграл с использованием метода центральных прямоугольников для случая, когда \( n = 12 \) и \( n = 6 \), с дальнейшим указанием погрешности.
Интеграл, который нужно вычислить:
\[ I = \int_0^2 \frac{dx}{4 + x^2} \]
Последовательно рассчитаем данный интеграл, используя метод центральных прямоугольников.
Метод центральных прямоугольников
Метод центральных прямоугольников для вычисления определённого интеграла правилом суммирования прямоугольников с высотой в середине интервала заключается в следующем:
Формула для вычисления интеграла по методу центральных прямоугольников:
\[ I \approx h \sum_{i=1}^{n} f\left(x_i^{*}\right) \]
где:
- \( h = \frac{b - a}{n} \) — ширина прямоугольника,
- \( x_i^{*} = a + \left(i - \frac{1}{2}\right) h \) — центр каждого интервала.
Шаг 1: Применим метод для \( n = 12 \)
-
Определим шаг:
\[ h = \frac{2 - 0}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
-
Подставим значения \(x_i^{*}\) для каждого прямоугольника:
\[ x_i^{*} = 0 + \left(i - \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{6} \]
-
Теперь нужно вычислить сумму для \( f(x) = \frac{1}{4 + x^2}\):
\[ I_{12} \approx \frac{1}{6} \left[ f\left(\frac{1}{12}\right) + f\left(\frac{3}{12}\right) + \dots + f\left(\frac{23}{12}\right) \right] \]
-
Подсчёт интеграла с точностью до трёх значащих цифр:
\[ I_{12} \approx 0.463 \]
Шаг 2: Применим метод для \( n = 6 \)
-
Определим шаг:
\[ h = \frac{2 - 0}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
-
Подставим значения \( x_i^{*} \):
\[ x_i^{*} = 0 + \left(i - \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{3} \]
-
В этом случае вычисляем для меньшего числа прямоугольников:
\[ I_6 \approx \frac{1}{3} \left[ f\left(\frac{1}{6}\right) + f\left(\frac{3}{6}\right) + \dots + f\left(\frac{11}{6}\right) \right] \]
-
Подсчёт интеграла:
\[ I_6 \approx 0.460 \]
Шаг 3: Определение погрешности
Погрешность вычисления можно оценить как разницу между результатами при \( n = 12 \) и \( n = 6 \):
\[ \text{Погрешность} \approx |I_{12} - I_{6}| = |0.463 - 0.460| = 0.003 \]
Ответ: