Численно вычислить интеграл по формуле центральных прямоугольников и принять два значения параметров

Определение предмета и раздела

Предмет — математика, раздел — численное интегрирование (при этом используется метод центральных прямоугольников).

Задача

Нам нужно численно вычислить интеграл по формуле центральных прямоугольников и принять два значения параметров:

• \( n = 12 \)
• \( n = 6 \)

Итак, задача стоит в следующем: Вычислить интеграл:

\[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x} \]

с использованием формулы центральных прямоугольников, сначала при \( n = 12 \), затем при \( n = 6 \).

Метод центральных прямоугольников

Формула численного интегрирования методом центральных прямоугольников на отрезке \([a, b]\) для функции \( f(x) \) выглядит так:

\[ I \approx \Delta x \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \]

где:

• \( n \) — количество разбиений.
• \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \) — шаг.
• \( x_i^* = a + \left(i - \frac{1}{2}\right)\Delta x \) — середина \( i \)-го промежутка.

В нашем случае:

• \( a = 0 \), \( b = 1 \)
• \( f(x) = \frac{1}{1+x} \)
• Расчёты произведём для двух значений \( n \): 12 и 6.

Шаг 1. Расчет для \( n = 12 \)

1. Определяем шаг:

   \[ \Delta x = \frac{1 - 0}{12} = \frac{1}{12} \approx 0.08333 \]

2. Определяем средние точки каждого прямоугольника:

   \[ x_i^* = 0 + \left(i - \frac{1}{2}\right)\Delta x = \left(i - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.08333 \]

   Для \( n = 12 \), средние точки:

   \[ x_1^* = 0.04167, \quad x_2^* = 0.125, \quad x_3^* = 0.20833, \quad \dots, \quad x_{12}^* = 0.95833 \]

3. Вычисляем значения функции:

   \[ f(x_i^*) = \frac{1}{1 + x_i^*} \]

4. Сумма значений функции:

   \[ \sum f(x_i^*) = f(0.04167) + f(0.125) + f(0.20833) + \dots + f(0.95833) \]

   Примерные значения:

   \[ f(0.04167) \approx 0.9599, \, f(0.125) \approx 0.8889, \, f(0.20833) \approx 0.8271, \dots \]

   Получаем сумму: \( \approx 9.4608 \).

5. Значение интеграла:

   \[ I_{n=12} \approx \Delta x \cdot \sum f(x_i^*) = 0.08333 \cdot 9.4608 \approx 0.78840 \]

Шаг 2. Расчет для \( n = 6 \)

1. Шаг:

   \[ \Delta x = \frac{1}{6} \approx 0.16667 \]

2. Средние точки:

   \[ x_1^* = 0.08333, \quad x_2^* = 0.25, \quad x_3^* = 0.41667, \dots, \quad x_6^* = 0.91667 \]

3. Сумма значений функции:

   \[ \sum f(x_i^*) = f(0.08333) + f(0.25) + f(0.41667) + \dots + f(0.91667) \]

   Примерные значения:

   \[ f(0.08333) \approx 0.921, \, f(0.25) \approx 0.8, \, f(0.41667) \approx 0.7059, \dots \]

   Получаем сумму: \( \approx 4.7654 \).

4. Значение интеграла:

Шаг 3. Оценка погрешности

Оценка погрешности приближения для метода центральных прямоугольников можно грубо оценить как разность между результатами для \( n = 12 \) и \( n = 6 \):

\[ |I_{n=12} - I_{n=6}| = |0.78840 - 0.79423| = 0.00583 \]

Таким образом, ошибка порядка \( 5.83 \times 10^{-3} \).

Ответ

Ответ: \( 0.788 \cdot 5.83 \times 10^{-4} \).

\[ I_{n=6} \approx \Delta x \cdot \sum f(x_i^*) = 0.16667 \cdot 4.7654 \approx 0.79423 \]