Чему равен интерполяционный многочлен Лагранжа для функций, заданной таблично

Предмет: Математика
Раздел: Интерполяция, численные методы

Интерполяционный многочлен Лагранжа для набора точек ((x_i, f(x_i))) определяется как:

 P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) L_i(x) 

где базисные многочлены Лагранжа ( L_i(x) ) определяются по формуле:

 L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} 

Дано:

Табличные значения функции:

Шаг 1: Найдем базисные многочлены ( L_i(x) )

1. Для ( L_0(x) ) (при ( x_0 = 1 )):

    L_0(x) = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{2} 

2. Для ( L_1(x) ) (при ( x_1 = 2 )):

    L_1(x) = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(2 - 1)(2 - 3)} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{-1} 

3. Для ( L_2(x) ) (при ( x_2 = 3 )):

    L_2(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(3 - 1)(3 - 2)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{2} 

Шаг 2: Записываем многочлен Лагранжа

 P_2(x) = 2 L_0(x) + 4 L_1(x) + 8 L_2(x) 

Подставляем найденные базисные многочлены:

 P_2(x) = 2 \cdot \frac{(x - 2)(x - 3)}{2} + 4 \cdot \frac{(x - 1)(x - 3)}{-1} + 8 \cdot \frac{(x - 1)(x - 2)}{2} 

Упрощаем:

 P_2(x) = (x - 2)(x - 3) - 4(x - 1)(x - 3) + 4(x - 1)(x - 2) 

Раскрываем скобки:

 P_2(x) = (x^2 - 5x + 6) - 4(x^2 - 4x + 3) + 4(x^2 - 3x + 2) 

 = x^2 - 5x + 6 - 4x^2 + 16x - 12 + 4x^2 - 12x + 8 

 = x^2 - x + 2 

Ответ:

Интерполяционный многочлен Лагранжа:

 P_2(x) = x^2 - x + 2