Запишите уравнение плоскости

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Уравнение плоскости в пространстве

Дано две плоскости:
9x + 2y + z + 19 = 0
19x + 3y + 2z - 2 = 0

И задана точка M_1(-10, -1, 15).
Нужно найти уравнение плоскости, проходящей через эту точку и перпендикулярной данным плоскостям.

1. Найдем направляющий вектор искомой плоскости

Плоскость, перпендикулярная двум данным, имеет нормаль, которая является векторным произведением их нормалей.

Нормали данных плоскостей:
\mathbf{n_1} = (9, 2, 1)
\mathbf{n_2} = (19, 3, 2)

Вычислим их векторное произведение:
 \mathbf{n} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 9 & 2 & 1 \ 19 & 3 & 2 \end{vmatrix} 

Рассчитаем определитель:

 \mathbf{n} = \left( 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 \right) \mathbf{i} - \left( 9 \cdot 2 - 1 \cdot 19 \right) \mathbf{j} + \left( 9 \cdot 3 - 2 \cdot 19 \right) \mathbf{k} 

 = (4 - 3, -(18 - 19), (27 - 38)) 

 = (1, 1, -11) 

Таким образом, нормальный вектор искомой плоскости:
\mathbf{n} = (1, 1, -11)

2. Записываем уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Подставляем координаты нормали:

1 \cdot x + 1 \cdot y - 11 \cdot z + D = 0
или
x + y - 11z + D = 0

3. Найдем D

Так как плоскость проходит через точку M_1(-10, -1, 15), подставляем ее координаты:

-10 + (-1) - 11 \cdot 15 + D = 0

-10 -1 - 165 + D = 0

D = 176

4. Ответ

Получаем уравнение плоскости:
x + y - 11z + 176 = 0

Коэффициенты B, C, D:
Ответ: 1; -11; 176