Записать векторы в системе координат с базисными векторами

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Векторы в пространстве

Нам даны вершины пирамиды с координатами:
A_1(2; -1; 3), \, A_2(3; 4; 3), \, A_3(1; -2; 5), \, A_4(4; -4; -6).

Задача:

1. Записать векторы \vec{A_1A_2} и \vec{A_1A_3} в системе координат с базисными векторами \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}.
2. Найти модули этих векторов.

Шаг 1: Запись векторов в координатной форме

Вектор \vec{A_1A_2} определяется разностью координат концов и начала:
\vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1)\mathbf{i} + (y_2 - y_1)\mathbf{j} + (z_2 - z_1)\mathbf{k}.

Подставляем координаты:
\vec{A_1A_2} = (3 - 2)\mathbf{i} + (4 - (-1))\mathbf{j} + (3 - 3)\mathbf{k}.

Упрощаем:
\vec{A_1A_2} = \mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 0\mathbf{k}.

Запишем результат:
\vec{A_1A_2} = \mathbf{i} + 5\mathbf{j}.

Теперь найдем вектор \vec{A_1A_3}:
\vec{A_1A_3} = (x_3 - x_1)\mathbf{i} + (y_3 - y_1)\mathbf{j} + (z_3 - z_1)\mathbf{k}.

Подставляем координаты:
\vec{A_1A_3} = (1 - 2)\mathbf{i} + (-2 - (-1))\mathbf{j} + (5 - 3)\mathbf{k}.

Упрощаем:
\vec{A_1A_3} = -\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}.

Запишем результат:
\vec{A_1A_3} = -\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}.

Шаг 2: Нахождение модулей векторов

Формула для модуля вектора \vec{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}:
|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.

1. Модуль вектора \vec{A_1A_2}:
\vec{A_1A_2} = \mathbf{i} + 5\mathbf{j}, то есть a = 1, b = 5, c = 0.

|\vec{A_1A_2}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}.

2. Модуль вектора \vec{A_1A_3}:
\vec{A_1A_3} = -\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}, то есть a = -1, b = -1, c = 2.

|\vec{A_1A_3}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}.

Ответ:

1. Векторы:
   \vec{A_1A_2} = \mathbf{i} + 5\mathbf{j},
   \vec{A_1A_3} = -\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}.

2. Модули векторов:
   |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{26},
   |\vec{A_1A_3}| = \sqrt{6}.