Записать векторы в системе координат, а также найти их модули

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Векторы в пространстве

Дано: вершины пирамиды ( A_1(2; -1; 3) ), ( A_2(3; 4; 3) ), ( A_3(1; -2; 5) ), ( A_4(4; -4; -6) ).
Требуется: записать векторы ( \vec{A_1A_2} ) и ( \vec{A_1A_3} ) в системе координат ( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} ), а также найти их модули.

1. Вектор ( \vec{A_1A_2} )

Формула для нахождения координат вектора между двумя точками: \vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1)\vec{i} + (y_2 - y_1)\vec{j} + (z_2 - z_1)\vec{k}

Подставим координаты точек ( A_1(2; -1; 3) ) и ( A_2(3; 4; 3) ):  \vec{A_1A_2} = (3 - 2)\vec{i} + (4 - (-1))\vec{j} + (3 - 3)\vec{k}   \vec{A_1A_2} = \vec{i} + 5\vec{j} + 0\vec{k} 

Таким образом: \vec{A_1A_2} = \vec{i} + 5\vec{j}

2. Вектор ( \vec{A_1A_3} )

Аналогично, подставим координаты точек ( A_1(2; -1; 3) ) и ( A_3(1; -2; 5) ):  \vec{A_1A_3} = (1 - 2)\vec{i} + (-2 - (-1))\vec{j} + (5 - 3)\vec{k}   \vec{A_1A_3} = -\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k} 

Таким образом: \vec{A_1A_3} = -\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}

3. Модуль вектора ( \vec{A_1A_2} )

Формула для нахождения модуля (длины) вектора: |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Для ( \vec{A_1A_2} = \vec{i} + 5\vec{j} + 0\vec{k} ):  |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{(3 - 2)^2 + (4 - (-1))^2 + (3 - 3)^2}   |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} 

4. Модуль вектора ( \vec{A_1A_3} )

Для ( \vec{A_1A_3} = -\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k} ):  |\vec{A_1A_3}| = \sqrt{(1 - 2)^2 + (-2 - (-1))^2 + (5 - 3)^2}   |\vec{A_1A_3}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} 

Ответ:

1. Вектор ( \vec{A_1A_2} ) в системе ( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} ):
   \vec{A_1A_2} = \vec{i} + 5\vec{j}
   Модуль:
   |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{26}

2. Вектор ( \vec{A_1A_3} ) в системе ( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} ):
   \vec{A_1A_3} = -\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}
   Модуль:
   |\vec{A_1A_3}| = \sqrt{6}