Записать векторы в системе координат

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Векторы в пространстве

Условие задачи:

Даны вершины пирамиды:

• A_1(2; -1; 3)
• A_2(3; 4; 3)
• A_3(1; -2; 5)
• A_4(4; -4; -6)

Нужно:

1. Записать векторы \vec{A_1A_2} и \vec{A_1A_3} в системе координат \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}.
2. Найти модули (длины) этих векторов.

Решение:

1. Запись векторов:

Вектор \vec{A_1A_2} определяется как разность координат конечной точки A_2 и начальной точки A_1: \vec{A_1A_2} = \vec{r}_{A_2} - \vec{r}_{A_1}.

Подставляем координаты: \vec{A_1A_2} = (3 - 2)\vec{i} + (4 - (-1))\vec{j} + (3 - 3)\vec{k}.

Упрощаем: \vec{A_1A_2} = \vec{i} + 5\vec{j} + 0\vec{k}, или \vec{A_1A_2} = \vec{i} + 5\vec{j}.

Вектор \vec{A_1A_3} определяется аналогично: \vec{A_1A_3} = \vec{r}_{A_3} - \vec{r}_{A_1}.

Подставляем координаты: \vec{A_1A_3} = (1 - 2)\vec{i} + (-2 - (-1))\vec{j} + (5 - 3)\vec{k}.

Упрощаем: \vec{A_1A_3} = -\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}.

2. Модули векторов:

Модуль (длина) вектора \vec{A_1A_2} вычисляется по формуле: |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},
где x, y, z — координаты вектора.

Для \vec{A_1A_2} = \vec{i} + 5\vec{j}: |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}.

Для \vec{A_1A_3} = -\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}: |\vec{A_1A_3}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}.

Ответ:

1. Векторы:
   • \vec{A_1A_2} = \vec{i} + 5\vec{j},
   • \vec{A_1A_3} = -\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}.
2. Модули:
   • |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{26},
   • |\vec{A_1A_3}| = \sqrt{6}.