Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями2x + 0y - 6z+2=0-(0+1)x+(6+1)y-4z+5=0

Определение предмета и раздела

Предмет: Алгебра и аналитическая геометрия

Раздел: Аналитическая геометрия (Прямые и плоскости в пространстве)

Задание

Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:

\[ 2x + 0y - 6z + 2 = 0 \]

\[ -(0+1)x + (6+1)y - 4z + 5 = 0 \]

Решение

Шаг 1: Упростим общие уравнения

Упростим второе уравнение:

\[ -(0+1)x + (6+1)y - 4z + 5 = 0 \]

\[ -x + 7y - 4z + 5 = 0 \]

Теперь у нас есть система:

\[ 2x - 6z + 2 = 0 \]

\[ -x + 7y - 4z + 5 = 0 \]

Шаг 2: Выразим одно из переменных через другие

Рассмотрим первое уравнение:

\[ 2x - 6z + 2 = 0 \]

\[ 2x = 6z - 2 \]

\[ x = 3z - 1 \]

Шаг 3: Подставим \(x\) в другое уравнение

Подставим \( x = 3z - 1 \) во второе уравнение:

\[ - (3z - 1) + 7y - 4z + 5 = 0 \]

\[ -3z + 1 + 7y - 4z + 5 = 0 \]

\[ -7z + 7y + 6 = 0 \]

\[ y = z - \frac{6}{7} \]

Теперь у нас есть выражения \( x \) и \( y \) через \( z \):

\[ x = 3z - 1 \]

\[ y = z - \frac{6}{7} \]

Шаг 4: Запишем каноническое уравнение

Параметризуем наше пространственное уравнение:

\[ x = 3t - 1 \]

\[ y = t - \frac{6}{7} \]

\[ z = t \]

где \( t \) - параметр. Теперь представим это уравнение в канонической форме. Для этого выразим \( t \):

\[ t = z \]

\[ t = \frac{y + \frac{6}{7}}{1} \]

\[ t = \frac{x + 1}{3} \]

Окончательное каноническое уравнение

\[ \frac{x + 1}{3} = \frac{y + \frac{6}{7}}{1} = z \]

Таким образом, каноническая форма уравнения прямой будет:

\[ \frac{x + 1}{3} = \frac{y + \frac{6}{7}}{1} = z \]

Надеюсь, это объяснение было полезным и понятным!