Заданы четыре точки в пространстве.

Пример 1:

Даны координаты точек A, B, C, D.

Найдите:

1. уравнение плоскости ABC;

2. расстояние от точки D до плоскости ABC;

3. уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости ABC;

4. уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC;

5. уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой BC;

6. расстояние от точки D до прямой BC;

7. расстояние между прямыми BC и AD.

(-2; 1; 2) (5; 2; 3) (0; 0; 5) (3; 3; 6)

Решение от преподавателя:

Уравнение плоскости ABC 

x+2 y-1 z-2 7 1 1 2 -1 3

= 0

(x+2)(1*3-(-1)*1) - (y-1)(7*3-2*1) + (z-2)(7(-1)-2*1) = 4x - 19y - 9z + 45 = 0

расстояние от точки D до плоскости ABC;

Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

Уравнение плоскости ABC: 4x - 19y - 9z + 45 = 0 

уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости ABC;

Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0
Уравнение плоскости ABC: 4x - 19y - 9z + 45 = 0 
4(x-3)-19(y-3)-9(z-6) = 0 
или 
4x-19y-9z+99 = 0 

уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC;

уравнение прямой имеет вид:

уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой BC;

Уравнение прямой BC(-5,-2,2) 

Направляющий вектор  прямой ВC будет являться направляющим вектором искомой прямой в силу их параллельности. Поэтому уравнение последней будет следующим

расстояние от точки D до прямой BC;

7. расстояние между прямыми BC и AD.

Уравнение прямой BC(-5,-2,2) 

Уравнение прямой AD(5,2,4)

Наименьшее расстояние (d)=0,56

Пример 2:

Заданы четыре точки в пространстве:

         А(1;N;3), B(-2;5;N), C(N;M;1), D(3;-2;1).

Найти:
1) длины векторов ;
2) координаты векторов  ;
3) проверить компланарность векторов ;
4) уравнения прямых АВ и АС;
5) уравнение плоскости АВС;
6) расстояние от точки D до плоскости АВС;
7) угол между векторами ;
8) уравнение медианы, проведенной из точки А на сторону ВС треугольника АВС;
9) уравнение перпендикуляра, опущенного на сторону АВ из точки С треугольника АВС;
10) площадь треугольника АВС;
11) координаты точки пересечения медиан треугольника АВС;
12) объем пирамиды ABCD и ее высоту, опущенную на основание треугольника АВС.

Решение от преподавателя:

Исходные данные для N=6, M=9: А(1;6;3), B(-2;5;6), C(6;9;1), D(3;-2;1).

1) Находим длины векторов

2) Находим координаты векторов

3) Проверяем компланарность векторов ,  для этого находим смешанное произведение этих векторов:

Смешанное произведение векторов   не равно нулю – эти векторы некомпланарны;

4) Находим уравнения прямых АВ и АС:

5) Находим уравнение плоскости АВС:

6) Находим расстояние от точки D до плоскости АВС:

7) Находим угол между векторами

8) Находим уравнение медианы, проведенной из точки А на сторону ВС треугольника АВС. Для этого сначала находим координаты точки М – середины стороны ВС:

Затем составляем уравнение медианы:

9) Находим уравнение перпендикуляра, опущенного на сторону АВ из точки С треугольника АВС. Для этого составляем уравнение плоскости р_С, проходящей через точку С перпендикулярно стороне АВ:

затем находим координаты точки Н пересечения плоскости р_С  с прямой АВ:

составляем уравнение перпендикуляра СН, опущенного на сторону АВ из точки С треугольника АВС:

10) Находим площадь треугольника АВС:

11) Находим координаты точки Т пересечения медиан треугольника АВС - центра тяжести треугольника:

12) Находим объем пирамиды ABCD:

       

и ее высоту, опущенную на основание треугольника АВС:

       

Ответ: