Задано несколько условий, связанных с эллипсом, и требуется составить его каноническое уравнение

Предмет: Математика, Раздел: Аналитическая геометрия

Задано несколько условий, связанных с эллипсом, и требуется составить его каноническое уравнение. Подробно разберём каждое из условий.

Основная информация о каноническом уравнении эллипса:

Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат имеет вид:

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\]

где:

• \(2a\) — расстояние между вершинами (лежат на большой оси),
• \(2b\) — расстояние между концами малой оси,
• \(c\) — расстояние от центра эллипса до фокуса, и оно связано с \(a\) и \(b\) через соотношение: \(c^2 = a^2 - b^2\).

А также эксцентриситет \(e\) определяется как \(e = \frac{c}{a}\).

Условие 1:

Дано, что расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, то есть \(2a = 16\), следовательно, \(a = 8\). Также известно, что расстояние между фокусами равно 10, то есть \(2c = 10\), следовательно, \(c = 5\).

Подставляем значения \(a\) и \(c\) в соотношение \(c^2 = a^2 - b^2\), находим \(b\):

\[5^2 = 8^2 - b^2 \Rightarrow 25 = 64 - b^2 \Rightarrow b^2 = 64 - 25 = 39 \Rightarrow b = \sqrt{39}.\]

Условие 2:

Длина хорды, соединяющей вершины эллипса, равна 5, и она наклонена под углом \(\arcsin \frac{3}{5}\). Информация о длине хорды и её угле наклона сложна для использования напрямую в уравнении, так как это частный случай геометрии эллипса, который не изменяет его основные параметры \(a\), \(b\) и \(c\). Поэтому данное условие лишь подтверждает вид эллипса, но не влияет на дальнейший расчёт.

Условие 3:

Следующие условия 4 и 5 уже связаны с эксцентриситетом и свойствами директрис.

Фокусами эллипса являются точки \( (\pm 2, 0) \), а директрисами — прямые \( x = \pm 18 \). Это условие противоречит значению расстояния между фокусами, равному 10. Фокусами не могут быть \( (\pm 2, 0) \), так как расстояние между ними всего 4, а по условию — 10.