Задано несколько условий, связанных с эллипсом, и требуется составить его каноническое уравнение

Предмет: Математика, Раздел: Аналитическая геометрия

Задано несколько условий, связанных с эллипсом, и требуется составить его каноническое уравнение. Подробно разберём каждое из условий.

Основная информация о каноническом уравнении эллипса:

Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат имеет вид:

$\text{[}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\text{]}$

где:

• $\text{(}2a\text{)}$ — расстояние между вершинами (лежат на большой оси),
• $\text{(}2b\text{)}$ — расстояние между концами малой оси,
• $\text{(}c\text{)}$ — расстояние от центра эллипса до фокуса, и оно связано с $\text{(}a\text{)}$ и $\text{(}b\text{)}$ через соотношение: $\text{(}{c}^2=a^2-b^2\text{)}.$

А также эксцентриситет $\text{(}e\text{)}$ определяется как $\text{(}e=\frac{c}{a}\text{)}.$

Условие 1:

Дано, что расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, то есть $\text{(}2a=16\text{)}$, следовательно, $\text{(}a=8\text{)}.$ Также известно, что расстояние между фокусами равно 10, то есть $\text{(}2c=10\text{)}$, следовательно, $\text{(}c=5\text{)}.$

Подставляем значения $\text{(}a\text{)}$ и $\text{(}c\text{)}$ в соотношение $\text{(}{c}^2=a^2-b^2\text{)}$, находим $\text{(}b\text{)}:$

$\text{[}{5}^2=8^2-b^2\Rightarrow 25=64-b^2\Rightarrow b^2=64-25=39\Rightarrow b=\sqrt{39}.\text{]}$

Условие 2:

Длина хорды, соединяющей вершины эллипса, равна 5, и она наклонена под углом $\text{(}\arcsin \frac{3}{5}\text{)}.$ Информация о длине хорды и её угле наклона сложна для использования напрямую в уравнении, так как это частный случай геометрии эллипса, который не изменяет его основные параметры $\text{(}a\text{)},\text{(}b\text{)}$ и $\text{(}c\text{)}.$ Поэтому данное условие лишь подтверждает вид эллипса, но не влияет на дальнейший расчёт.

Условие 3:

Следующие условия 4 и 5 уже связаны с эксцентриситетом и свойствами директрис.

Фокусами эллипса являются точки $\text{(}(\pm 2,0)\text{)}$, а директрисами — прямые $\text{(}x=\pm 18\text{)}$. Это условие противоречит значению расстояния между фокусами, равному 10. Фокусами не могут быть $\text{(}(\pm 2,0)\text{)}$, так как расстояние между ними всего 4, а по условию — 10.