Задание требует нахождения точки, минимизирующей объем тетраэдра под условиями, заданными сферой

Предмет и раздел задачи:

Этот пример относится к предмету аналитическая геометрия, раздел геометрические свойства многогранников (тетраэдры) и оптимизация объемов. Задание требует нахождения точки, минимизирующей объем тетраэдра под условиями, заданными сферой.

Решение задачи:

Даны:

• Точки $\text{(}A(1,-1,1),B(1,0,2),C(3,-1,0)\text{)}$,
• Уравнение сферы: $\text{(}{x}^2+y^2+z^2=2z\text{)}$.

Необходимо найти точку $\text{(}D(x,y,z)\text{)}$ на сфере, чтобы объем тетраэдра $\text{(}ABCD\text{)}$ был минимальным.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра $\text{(}ABCD\text{)}$ определяется следующей формулой:

$\text{[}V=\frac{1}{6}|det\left(\begin{array}{cccc}{x}_A& y_A& z_A& 1\\ x_B& y_B& z_B& 1\\ x_C& y_C& z_C& 1\\ x_D& y_D& z_D& 1\end{array}\right)|,\text{]}$

где $\text{(}(x_A,y_A,z_A)\text{)},\text{(}(x_B,y_B,z_B)\text{)},\text{(}(x_C,y_C,z_C)\text{)}$ и $\text{(}(x_D,y_D,z_D)\text{)}$ — координаты точек $\text{(}A,B,C,D\text{)}$.

Из этого следует, что наш объем пропорционален значению детерминанта. Минимизация объема сводится к минимизации значения этой абсолютной величины, учитывая уравнение сферы.

Преобразование уравнения сферы

Преобразуем уравнение сферы $\text{(}{x}^2+y^2+z^2=2z\text{)}$:

$\text{[}{x}^2+y^2+z^2-2z=0.\text{]}$

Завершим квадрат по $\text{(}z\text{)}$:

$\text{[}{x}^2+y^2+(z-1{)}^2-1=0\Rightarrow x^2+y^2+(z-1{)}^2=1.\text{]}$

Это сфера с центром в точке $\text{(}(0,0,1)\text{)}$ и радиусом 1.

Геометрическая интерпретация задачи

Минимальный объем тетраэдра $\text{(}ABCD\text{)}$ достигается, когда точка $\text{(}D\text{)}$ лежит на сфере так, чтобы «высота» от точки $\text{(}D\text{)}$ к плоскости, содержащей точки $\text{(}A,B,C\text{)}$, была минимальной. Это происходит, когда $\text{(}D\text{)}$ является ортогональной проекцией центра сферы на эту плоскость.

Уравнение плоскости $\text{(}ABC\text{)}$

Общее уравнение плоскости задается формулой:

$\text{[}a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0,\text{]}$

где $\text{(}\overrightarrow{n}=(a,b,c)\text{)}$ — нормаль к плоскости, находящаяся как векторное произведение $\text{(}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\text{)}$:

$\text{[}\overrightarrow{AB}=(0,1,1),\overrightarrow{AC}=(2,0,-1).\text{]}$

Найдем векторное произведение:

$\text{[}\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 0& 1& 1\\ 2& 0& -1\end{array}\right|=\mathbf{i}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right|-\mathbf{j}\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& -1\end{array}\right|+\mathbf{k}\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right|.\text{]}$

Вычислим детерминанты:

$\text{[}\overrightarrow{n}=\mathbf{i}(-1)-\mathbf{j}(-2)+\mathbf{k}(-2)=(-1,2,-2).\text{]}$

Таким образом, уравнение плоскости:

$\text{[}-1(x-1)+2(y+1)-2(z-1)=0,\text{]}$

или

$\text{[}-x+2y-2z+5=0.\text{]}$

Проекция центра сферы на плоскость $\text{(}ABC\text{)}$

Центр сферы — точка $\text{(}O(0,0,1)\text{)}$. Проекция $\text{(}D\text{)}$ этой точки на плоскость $\text{(}ABC\text{)}$ вычисляется по формуле:

$\text{[}D=O+t\overrightarrow{n},\text{]}$

где $\text{(}t\text{)}$ вычисляется из уравнения плоскости:

$\text{[}-1(0+t(-1))+2(0+t(2))-2(1+t(-2))+5=0.\text{]}$

Упростим:

$\text{[}-t+4t-2+4t+5=0\Rightarrow 7t+3=0\Rightarrow t=-\frac{3}{7}.\text{]}$

Подставляем $\text{(}t\text{)}$ в $\text{(}D\text{)}$:

$\text{[}D=(0,0,1)+(-\frac{3}{7})(-1,2,-2),\text{]}$

$\text{[}D=(\frac{3}{7},-\frac{6}{7},1+\frac{6}{7})=(\frac{3}{7},-\frac{6}{7},\frac{13}{7}).\text{]}$

Проверка, что $\text{(}D\text{)}$ лежит на сфере

Подставим координаты $\text{(}D\text{)}$ в уравнение сферы:

$\text{[}{x}^2+y^2+z^2=2z,\text{]}$

$\text{[}{\left(\frac{3}{7}\right)}^2+{(-\frac{6}{7})}^2+{\left(\frac{13}{7}\right)}^2\stackrel{?}{=}2\cdot \frac{13}{7}.\text{]}$

Вычислим левую часть:

$\text{[}\frac{9}{49}+\frac{36}{49}+\frac{169}{49}=\frac{214}{49}.\text{]}$

Вычислим правую часть:

$\text{[}2\cdot \frac{13}{7}=\frac{26}{7}=\frac{214}{49}.\text{]}$

Так как равенство выполняется, точка $\text{(}D\text{)}$ лежит на сфере.

Ответ:

Точка $\text{(}D\text{)}$, минимизирующая объем тетраэдра $\text{(}ABCD\text{)}$, имеет координаты:

$\text{[}D(\frac{3}{7},-\frac{6}{7},\frac{13}{7}).\text{]}$