Задание требует нахождения точки, минимизирующей объем тетраэдра под условиями, заданными сферой

Предмет и раздел задачи:

Этот пример относится к предмету аналитическая геометрия, раздел геометрические свойства многогранников (тетраэдры) и оптимизация объемов. Задание требует нахождения точки, минимизирующей объем тетраэдра под условиями, заданными сферой.

Решение задачи:

Даны:

• Точки \( A(1, -1, 1), B(1, 0, 2), C(3, -1, 0) \),
• Уравнение сферы: \( x^2 + y^2 + z^2 = 2z \).

Необходимо найти точку \( D(x, y, z) \) на сфере, чтобы объем тетраэдра \( ABCD \) был минимальным.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра \( ABCD \) определяется следующей формулой:

\[ V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{pmatrix} x_A & y_A & z_A & 1 \\ x_B & y_B & z_B & 1 \\ x_C & y_C & z_C & 1 \\ x_D & y_D & z_D & 1 \end{pmatrix} \right|, \]

где \((x_A, y_A, z_A)\), \((x_B, y_B, z_B)\), \((x_C, y_C, z_C)\) и \((x_D, y_D, z_D)\) — координаты точек \( A, B, C, D \).

Из этого следует, что наш объем пропорционален значению детерминанта. Минимизация объема сводится к минимизации значения этой абсолютной величины, учитывая уравнение сферы.

Преобразование уравнения сферы

Преобразуем уравнение сферы \( x^2 + y^2 + z^2 = 2z \):

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2z = 0. \]

Завершим квадрат по \( z \):

\[ x^2 + y^2 + (z - 1)^2 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1. \]

Это сфера с центром в точке \( (0, 0, 1) \) и радиусом 1.

Геометрическая интерпретация задачи

Минимальный объем тетраэдра \( ABCD \) достигается, когда точка \( D \) лежит на сфере так, чтобы «высота» от точки \( D \) к плоскости, содержащей точки \( A, B, C \), была минимальной. Это происходит, когда \( D \) является ортогональной проекцией центра сферы на эту плоскость.

Уравнение плоскости \( ABC \)

Общее уравнение плоскости задается формулой:

\[ a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0, \]

где \(\vec{n} = (a, b, c)\) — нормаль к плоскости, находящаяся как векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\):

\[ \vec{AB} = (0, 1, 1), \quad \vec{AC} = (2, 0, -1). \]

Найдем векторное произведение:

\[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}. \]

Вычислим детерминанты:

\[ \vec{n} = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(-2) = (-1, 2, -2). \]

Таким образом, уравнение плоскости:

\[ -1(x - 1) + 2(y + 1) - 2(z - 1) = 0, \]

или

\[ -x + 2y - 2z + 5 = 0. \]

Проекция центра сферы на плоскость \( ABC \)

Центр сферы — точка \( O(0, 0, 1) \). Проекция \( D \) этой точки на плоскость \( ABC \) вычисляется по формуле:

\[ D = O + t\vec{n}, \]

где \( t \) вычисляется из уравнения плоскости:

\[ -1(0 + t(-1)) + 2(0 + t(2)) - 2(1 + t(-2)) + 5 = 0. \]

Упростим:

\[ -t + 4t - 2 + 4t + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad 7t + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = -\frac{3}{7}. \]

Подставляем \( t \) в \( D \):

\[ D = (0, 0, 1) + \left(-\frac{3}{7}\right)(-1, 2, -2), \]

\[ D = \left( \frac{3}{7}, -\frac{6}{7}, 1 + \frac{6}{7} \right) = \left( \frac{3}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{13}{7} \right). \]

Проверка, что \( D \) лежит на сфере

Подставим координаты \( D \) в уравнение сферы:

\[ x^2 + y^2 + z^2 = 2z, \]

\[ \left( \frac{3}{7} \right)^2 + \left( -\frac{6}{7} \right)^2 + \left( \frac{13}{7} \right)^2 \stackrel{?}{=} 2 \cdot \frac{13}{7}. \]

Вычислим левую часть:

\[ \frac{9}{49} + \frac{36}{49} + \frac{169}{49} = \frac{214}{49}. \]

Вычислим правую часть:

\[ 2 \cdot \frac{13}{7} = \frac{26}{7} = \frac{214}{49}. \]

Так как равенство выполняется, точка \( D \) лежит на сфере.

Ответ:

Точка \( D \), минимизирующая объем тетраэдра \( ABCD \), имеет координаты:

\[ D\left( \frac{3}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{13}{7} \right). \]