Задает ли отображение F (u, v) = (u + v,u + v, u + v) двумерную поверхность?

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Многомерные отображения и поверхности

Решение:

Давайте разберемся, задает ли отображение F(u, v) = (u + v, u + v, u + v) двумерную поверхность.

1. Анализ отображения:
   Отображение F(u, v) принимает два параметра u и v и преобразует их в точку в трехмерном пространстве \mathbb{R}^3, где каждая координата равна u + v. Таким образом, результат отображения всегда имеет вид:
   F(u, v) = (u + v, u + v, u + v) = (w, w, w), \; \text{где } w = u + v.

2. Геометрическое описание результата:
   Все точки, полученные через отображение F(u, v), лежат на прямой x = y = z в пространстве \mathbb{R}^3. Это означает, что отображение не может задавать двумерную поверхность, так как его образ одномерен (прямая — это одномерное множество).

3. Ранг отображения:
   Чтобы убедиться в этом формально, вычислим якобиан отображения F(u, v). Якобиан — это матрица первых частных производных:
    J_F = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial u} & \frac{\partial F_1}{\partial v} \ \frac{\partial F_2}{\partial u} & \frac{\partial F_2}{\partial v} \ \frac{\partial F_3}{\partial u} & \frac{\partial F_3}{\partial v} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}. 

   Ранг этой матрицы равен 1 (все строки линейно зависимы). Это означает, что отображение F(u, v) имеет одномерный образ, а не двумерный.

4. Вывод:
   Отображение F(u, v) = (u + v, u + v, u + v) не задает двумерную поверхность, так как его образ — это одномерное множество (прямая x = y = z в пространстве \mathbb{R}^3).