Выразить объем конуса, вписанного в шар радиусаR, как функцию его высотыx . Найти область определения этой функции.

Задача: Предмет: Математика, Геометрия, Раздел "Объём тел вращения."

Нам требуется выразить объем конуса, вписанного в шар радиуса \(R\), как функцию его высоты \(x\), а затем найти область определения этой функции.

Шаг 1: Определение основных параметров

Для начала разберемся с геометрией задачи:

• Радиус шара — \(R\),
• Высота конуса — \(x\),
• Основание конуса — плоский круг, вписанный в сферу.

Шар имеет радиус \(R\), а конус вписан в шар таким образом, что его вершина находится на поверхности шара, а основание лежит на противоположной стороне шара (на плоскости, проходящей через центр шара).

Шаг 2: Выразим радиус основания конуса через высоту \(x\)

Зная, что высота конуса — это отрезок от вершины конуса до плоскости основания, рассмотрим прямоугольный треугольник, один катет которого равен половине высоты конуса, а другой — радиусу основания \(r\). Вписанный конус пересекается с центром шара перпендикулярно его основанию, из чего следует, что радиус основания \(r\) можно найти с помощью теоремы Пифагора:

\[ r = \sqrt{R^2 - \left( \frac{x}{2} \right)^2} = \sqrt{R^2 - \frac{x^2}{4}} \]

Шаг 3: Формула объема конуса

Объем конуса выражается по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Здесь:

• \(r = \sqrt{R^2 - \frac{x^2}{4}}\) — радиус основания конуса,
• \(h = x\) — высота конуса.

Подставим \(r\) в формулу объема конуса:

\[ V(x) = \frac{1}{3} \pi \left( \sqrt{R^2 - \frac{x^2}{4}} \right)^2 x \]

Упростим выражение:

\[ V(x) = \frac{1}{3} \pi (R^2 - \frac{x^2}{4}) x \]

\[ V(x) = \frac{1}{3} \pi \left( R^2 x - \frac{x^3}{4} \right) \]

Таким образом, объем конуса как функция от высоты \(x\) равен:

\[ V(x) = \frac{1}{3} \pi \left( R^2 x - \frac{x^3}{4} \right) \]

Шаг 4: Область определения функции \(V(x)\)

Так как конус вписан в шар радиуса \(R\), высота \(x\) должна быть положительной и меньше диаметра шара, который равен \(2R\). Следовательно, областью определения \(x\) является интервал:

\[ D(V) = (0; 2R) \]

Ответ:

\[ V(x) = \frac{1}{3} \pi \left( R^2 x - \frac{x^3}{4} \right) \]

\[ D(V) = (0; 2R) \]