Выразить объем конуса, вписанного в шар радиусаR, как функцию его высотыx . Найти область определения этой функции.

Задача: Предмет: Математика, Геометрия, Раздел "Объём тел вращения."

Нам требуется выразить объем конуса, вписанного в шар радиуса $\text{(}R\text{)}$, как функцию его высоты $\text{(}x\text{)}$, а затем найти область определения этой функции.

Шаг 1: Определение основных параметров

Для начала разберемся с геометрией задачи:

• Радиус шара — $\text{(}R\text{)}$,
• Высота конуса — $\text{(}x\text{)}$,
• Основание конуса — плоский круг, вписанный в сферу.

Шар имеет радиус $\text{(}R\text{)}$, а конус вписан в шар таким образом, что его вершина находится на поверхности шара, а основание лежит на противоположной стороне шара (на плоскости, проходящей через центр шара).

Шаг 2: Выразим радиус основания конуса через высоту $\text{(}x\text{)}$

Зная, что высота конуса — это отрезок от вершины конуса до плоскости основания, рассмотрим прямоугольный треугольник, один катет которого равен половине высоты конуса, а другой — радиусу основания $\text{(}r\text{)}$. Вписанный конус пересекается с центром шара перпендикулярно его основанию, из чего следует, что радиус основания $\text{(}r\text{)}$ можно найти с помощью теоремы Пифагора:

$\text{[}r=\sqrt{R^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}=\sqrt{R^2-\frac{x^2}{4}}\text{]}$

Шаг 3: Формула объема конуса

Объем конуса выражается по формуле:

$\text{[}V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\text{]}$

Здесь:

• $\text{(}r=\sqrt{R^2-\frac{x^2}{4}}\text{)}$ — радиус основания конуса,
• $\text{(}h=x\text{)}$ — высота конуса.

Подставим $\text{(}r\text{)}$ в формулу объема конуса:

$\text{[}V(x)=\frac{1}{3}\pi {\left(\sqrt{R^2-\frac{x^2}{4}}\right)}^{2}x\text{]}$

Упростим выражение:

$\text{[}V(x)=\frac{1}{3}\pi (R^2-\frac{x^2}{4})x\text{]}$

$\text{[}V(x)=\frac{1}{3}\pi (R^{2}x-\frac{x^3}{4})\text{]}$

Таким образом, объем конуса как функция от высоты $\text{(}x\text{)}$ равен:

$\text{[}V(x)=\frac{1}{3}\pi (R^{2}x-\frac{x^3}{4})\text{]}$

Шаг 4: Область определения функции $\text{(}V(x)\text{)}$

Так как конус вписан в шар радиуса $\text{(}R\text{)}$, высота $\text{(}x\text{)}$ должна быть положительной и меньше диаметра шара, который равен $\text{(}2R\text{)}$. Следовательно, областью определения $\text{(}x\text{)}$ является интервал:

$\text{[}D(V)=(0;2R)\text{]}$

Ответ:

$\text{[}V(x)=\frac{1}{3}\pi (R^{2}x-\frac{x^3}{4})\text{]}$

$\text{[}D(V)=(0;2R)\text{]}$