Выделить полный квадрат относительно x в данном уравнении и выразить y

Данное задание относится к математике, а конкретно к теме аналитическая геометрия и квадратные уравнения. Мы должны выделить полный квадрат относительно $\text{(}x\text{)}$ в данном уравнении и выразить $\text{(}y\text{)}$.

Уравнение: $\text{[}y+5x^2-10x-3=0\text{]}$

Шаг 1: Перенос $\text{(}y\text{)}$ и свободного члена $\text{(}-3\text{)}$ на одну сторону

$\text{[}y=-5x^2+10x+3\text{]}$

Шаг 2: Выделение полного квадрата относительно $\text{(}x\text{)}$

Рассмотрим часть $\text{(}-5x^2+10x\text{)}$. Чтобы выделить полный квадрат, следуем следующему алгоритму:

1. Вынесем коэффициент при $\text{(}{x}^2\text{)}$ ($\text{(}-5\text{)}$) за скобки из двух первых членов: $\text{[}-5(x^2-2x)\text{]}$
2. В скобках выделяем полный квадрат. Для этого берём половину коэффициента при $\text{(}x\text{)}$ ($\text{(}-2/2=-1\text{)}$) и возводим в квадрат ($\text{(}(-1{)}^2=1\text{)}$): $\text{[}-5(x^2-2x+1-1)\text{]}$ (Добавили и вычли единицу, чтобы уравнение осталось эквивалентным.)
3. Группируем трехчлен $\text{(}{x}^2-2x+1\text{)}$ в полный квадрат и упрощаем: $\text{[}-5((x-1{)}^2-1)\text{]}$
4. Раскрываем внутренние скобки: $\text{[}-5(x-1{)}^2+5\text{]}$

Шаг 3: Подставляем результат в уравнение для $\text{(}y\text{)}$

Подставляем преобразованное выражение вместо $\text{(}-5x^2+10x\text{)}$: $\text{[}y=-5(x-1{)}^2+5+3\text{]}$

Складываем свободные члены: $\text{[}y=-5(x-1{)}^2+8\text{]}$

Итоговое уравнение

Результат: $\text{[}y=-5(x-1{)}^2+8\text{]}$

Это уравнение выражено относительно $\text{(}y\text{)}$, и парабола открыта вниз (из-за коэффициента $\text{(}-5\text{)}$) с вершиной в точке $\text{(}(1,8)\text{)}$.