Выделить полный квадрат относительно x в данном уравнении и выразить y

Данное задание относится к математике, а конкретно к теме аналитическая геометрия и квадратные уравнения. Мы должны выделить полный квадрат относительно \( x \) в данном уравнении и выразить \( y \).

Уравнение: \[ y + 5x^2 - 10x - 3 = 0 \]

Шаг 1: Перенос \( y \) и свободного члена \( -3 \) на одну сторону

\[ y = -5x^2 + 10x + 3 \]

Шаг 2: Выделение полного квадрата относительно \( x \)

Рассмотрим часть \( -5x^2 + 10x \). Чтобы выделить полный квадрат, следуем следующему алгоритму:

1. Вынесем коэффициент при \( x^2 \) (\( -5 \)) за скобки из двух первых членов: \[ -5(x^2 - 2x) \]
2. В скобках выделяем полный квадрат. Для этого берём половину коэффициента при \( x \) (\( -2/2 = -1 \)) и возводим в квадрат (\( (-1)^2 = 1 \)): \[ -5(x^2 - 2x + 1 - 1) \] (Добавили и вычли единицу, чтобы уравнение осталось эквивалентным.)
3. Группируем трехчлен \( x^2 - 2x + 1 \) в полный квадрат и упрощаем: \[ -5((x - 1)^2 - 1) \]
4. Раскрываем внутренние скобки: \[ -5(x - 1)^2 + 5 \]

Шаг 3: Подставляем результат в уравнение для \( y \)

Подставляем преобразованное выражение вместо \( -5x^2 + 10x \): \[ y = -5(x - 1)^2 + 5 + 3 \]

Складываем свободные члены: \[ y = -5(x - 1)^2 + 8 \]

Итоговое уравнение

Результат: \[ y = -5(x - 1)^2 + 8 \]

Это уравнение выражено относительно \( y \), и парабола открыта вниз (из-за коэффициента \( -5 \)) с вершиной в точке \( (1, 8) \).