Вычислите эксцентриситет гиперболы, если:угол между асимптотами, содержащими фокус, равен 120°

Задание относится к предмету аналитическая геометрия, который является частью раздела геометрия.

Шаг 1. Рассмотрим уравнение гиперболы в стандартном виде

Уравнение гиперболы, оси которой ориентированы вдоль осей координат, может быть записано как: $\text{[}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\text{]}$ где $\text{(}a\text{)}$ — это расстояние от центра до вершины по оси $\text{(}x\text{)}$, а $\text{(}b\text{)}$ связано с крутизной гиперболы.

Асимптоты гиперболы будут проходить по линиям: $\text{[}y=\pm \frac{b}{a}x.\text{]}$

Шаг 2. Рассчитаем угол между асимптотами

Угол $\text{(}2\theta \text{)}$ между асимптотами можно вычислить через тангенс угла наклона асимптот: $\text{[}\tan \theta =\frac{b}{a}.\text{]}$

Поскольку нам известен угол между асимптотами, и он равен $\text{(}{120}^{\circ }\text{)}$, то каждая из асимптот наклонена на $\text{(}\theta ={60}^{\circ }\text{)}$ относительно оси $\text{(}x\text{)}$. Таким образом: $\text{[}\tan \theta =\tan {60}^{\circ }=\sqrt{3}.\text{]}$

Следовательно, из условия тангенса мы получаем: $\text{[}\frac{b}{a}=\sqrt{3}.\text{]}$

Шаг 3. Определение эксцентриситета гиперболы

Эксцентриситет гиперболы определяется как: $\text{[}e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}.\text{]}$

Мы знаем из предыдущего шага, что $\text{(}\frac{b}{a}=\sqrt{3}\text{)}$, следовательно, $\text{(}\frac{b^2}{a^2}=3\text{)}$. Подставим это в формулу для эксцентриситета: $\text{[}e=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.\text{]}$

Ответ:

Эксцентриситет гиперболы равен $\text{(}e=2\text{)}$.