Вычислите эксцентриситет гиперболы, если:угол между асимптотами, содержащими фокус, равен 120°

Задание относится к предмету аналитическая геометрия, который является частью раздела геометрия.

Шаг 1. Рассмотрим уравнение гиперболы в стандартном виде

Уравнение гиперболы, оси которой ориентированы вдоль осей координат, может быть записано как: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \] где \( a \) — это расстояние от центра до вершины по оси \( x \), а \( b \) связано с крутизной гиперболы.

Асимптоты гиперболы будут проходить по линиям: \[ y = \pm \frac{b}{a} x. \]

Шаг 2. Рассчитаем угол между асимптотами

Угол \( 2\theta \) между асимптотами можно вычислить через тангенс угла наклона асимптот: \[ \tan \theta = \frac{b}{a}. \]

Поскольку нам известен угол между асимптотами, и он равен \( 120^\circ \), то каждая из асимптот наклонена на \( \theta = 60^\circ \) относительно оси \( x \). Таким образом: \[ \tan \theta = \tan 60^\circ = \sqrt{3}. \]

Следовательно, из условия тангенса мы получаем: \[ \frac{b}{a} = \sqrt{3}. \]

Шаг 3. Определение эксцентриситета гиперболы

Эксцентриситет гиперболы определяется как: \[ e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}. \]

Мы знаем из предыдущего шага, что \( \frac{b}{a} = \sqrt{3} \), следовательно, \( \frac{b^2}{a^2} = 3 \). Подставим это в формулу для эксцентриситета: \[ e = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2. \]

Ответ:

Эксцентриситет гиперболы равен \( e = 2 \).