Предмет: Математика (Аналітична геометрія)

Розділ: Вектори та кути між векторами.

Завдання: Обчислити кут між ребрами \( А(4; -9; 3) \), \( В(1; 8; 2) \) та \( С(4; -9; 3) \), \( D(5; 7; 4) \).

Крок 1: Знайдемо вектори, що описують ці ребра.

1. Вектор \(\overrightarrow{AB}\): Вектор можна знайти за формулою:

\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \]

Підставляємо координати:

\[ \overrightarrow{AB} = (1 - 4; 8 + 9; 2 - 3) = (-3; 17; -1) \]

2. Вектор \(\overrightarrow{CD}\): Вектор \(\overrightarrow{CD}\) за такою самою формулою:

\[ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) \]

Підставляємо координати:

\[ \overrightarrow{CD} = (5 - 4; 7 + 9; 4 - 3) = (1; 16; 1) \]

Крок 2: Формула для кута між векторами.

Кут між векторами можна знайти за формулою косинуса кута:

\[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} \]

Де:

• \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\) — скалярний добуток векторів,
• \( |\overrightarrow{AB}| \) та \( |\overrightarrow{CD}| \) — довжини векторів.

1. Обчислимо скалярний добуток.

Скалярний добуток векторів визначається як:

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \]

Для векторів \( \overrightarrow{AB} = (-3; 17; -1) \) та \( \overrightarrow{CD} = (1; 16; 1) \):

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-3) \cdot 1 + 17 \cdot 16 + (-1) \cdot 1 = -3 + 272 - 1 = 268 \]

2. Обчислимо довжини векторів.

- Довжина вектора \( \overrightarrow{AB} \):

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 17^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 289 + 1} = \sqrt{299} \]

- Довжина вектора \( \overrightarrow{CD} \):

\[ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{1^2 + 16^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 256 + 1} = \sqrt{258} \]

3. Обчислимо косинус кута.

Тепер підставляємо отримані значення у формулу для косинуса кута:

\[ \cos \theta = \frac{268}{\sqrt{299} \cdot \sqrt{258}} = \frac{268}{\sqrt{77142}} = \frac{268}{277.75} \approx 0.9655 \]

Крок 3: Обчислимо кут.

Тепер знайдемо сам кут:

\[ \theta = \arccos(0.9655) \approx 15^\circ \]

Відповідь: Кут між ребрами становить приблизно \( 15^\circ \).