Вычислить скалярное произведение векторов AB и AC

Это задание относится к предмету аналитическая геометрия из раздела векторов в пространстве. Нам нужно найти скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), где точки A(1; 2; 4), B(0; 4; 2), C(3; 0; 2).

Шаг 1: Найдём координаты вектора \(\vec{AB}\)

Чтобы найти координаты вектора \(\vec{AB}\), нужно вычесть координаты точки A из координат точки B:

\[ \vec{AB} = B - A = (0 - 1; 4 - 2; 2 - 4) = (-1; 2; -2) \]

Шаг 2: Найдём координаты вектора \(\vec{AC}\)

Аналогично, вычислим координаты вектора \(\vec{AC}\):

\[ \vec{AC} = C - A = (3 - 1; 0 - 2; 2 - 4) = (2; -2; -2) \]

Шаг 3: Найдём скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\)

Скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) вычисляется по формуле:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \]

Где \(\vec{AB} = (x_1, y_1, z_1)\), а \(\vec{AC} = (x_2, y_2, z_2)\). Подставляем координаты векторов:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-2) \]

Ответ: Скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равно \(-2\).

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = -2 - 4 + 4 = -2 \]