Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями, показав на чертеже эти фигуры

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия и интегральное исчисление

Решение:

Нам даны две кривые:

1. x = 4 - (y - 1)^2
2. x = y^2 - 4y + 3

1. Найдем точки пересечения

Приравняем правые части уравнений:

4 - (y - 1)^2 = y^2 - 4y + 3

Раскроем скобки:

4 - (y^2 - 2y + 1) = y^2 - 4y + 3

4 - y^2 + 2y - 1 = y^2 - 4y + 3

Перенесем все в одну сторону:

4 - 1 - 3 = y^2 + y^2 - 2y + 4y

0 = 2y^2 + 2y - 4

Разделим на 2:

y^2 + y - 2 = 0

Решим квадратное уравнение:

(y + 2)(y - 1) = 0

Отсюда y = -2 или y = 1.

Найдем соответствующие значения x:

• При y = -2:
  x = 4 - (-2 - 1)^2 = 4 - 9 = -5
• При y = 1:
  x = 4 - (1 - 1)^2 = 4 - 0 = 4

Значит, точки пересечения: (-5, -2) и (4, 1).

2. Определение границ интегрирования

Из уравнений видно, что x = 4 - (y - 1)^2 — это ветвь параболы, направленная влево, а x = y^2 - 4y + 3 — это парабола, направленная вправо.

Чтобы найти площадь между ними, вычислим интеграл:

S = \int_{-2}^{1} [(4 - (y - 1)^2) - (y^2 - 4y + 3)] dy

3. Вычисление интеграла

Раскроем скобки:

S = \int_{-2}^{1} [4 - (y^2 - 2y + 1) - (y^2 - 4y + 3)] dy

S = \int_{-2}^{1} [4 - y^2 + 2y - 1 - y^2 + 4y - 3] dy

S = \int_{-2}^{1} [-2y^2 + 6y] dy

Вычислим интегралы:

\int -2y^2 dy = -\frac{2}{3} y^3
\int 6y dy = 3y^2

Подставляем пределы:

S = \left[-\frac{2}{3} y^3 + 3y^2 \right]_{-2}^{1}

Вычислим в верхнем пределе y = 1:

-\frac{2}{3} (1)^3 + 3(1)^2 = -\frac{2}{3} + 3 = \frac{7}{3}

Вычислим в нижнем пределе y = -2:

-\frac{2}{3} (-2)^3 + 3(-2)^2 = -\frac{2}{3} (-8) + 3(4)

= \frac{16}{3} + 12 = \frac{16}{3} + \frac{36}{3} = \frac{52}{3}

Теперь найдем разность:

S = \frac{52}{3} - \frac{7}{3} = \frac{45}{3} = 15

Ответ:

Площадь области, ограниченной заданными кривыми, равна 15.