Вычислить площадь треугольника с координатами вершин

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Геометрия векторов в пространстве

Задача состоит в том, чтобы вычислить площадь треугольника с координатами вершин \( A(7; 3; 4) \), \( B(1; 0; 6) \), и \( C(4; 5; -2) \).

Шаг 1: Найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\)

Для нахождения площади треугольника используем векторное произведение. Сначала вычислим координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 7; 0 - 3; 6 - 4) = (-6; -3; 2) \]

\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (4 - 7; 5 - 3; -2 - 4) = (-3; 2; -6) \]

Шаг 2: Найдем векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\)

Векторное произведение двух векторов находим по следующей формуле:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -6 & -3 & 2 \\ -3 & 2 & -6 \end{vmatrix} \]

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} -6 & 2 \\ -3 & -6 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} -6 & -3 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} \]

Рассчитываем определители:

\[ \mathbf{i} \cdot ((-3)(-6) - (2)(2)) = \mathbf{i} \cdot (18 - 4) = \mathbf{i} \cdot 14 \]

\[ -\mathbf{j} \cdot ((-6)(-6) - (2)(-3)) = -\mathbf{j} \cdot (36 + 6) = -\mathbf{j} \cdot 42 \]

\[ \mathbf{k} \cdot ((-6)(2) - (-3)(-3)) = \mathbf{k} \cdot (-12 - 9) = \mathbf{k} \cdot (-21) \]

Итак, векторное произведение:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (14; -42; -21) \]

Шаг 3: Найдем модуль векторного произведения

Теперь найдем модуль вектора, который равен длине векторного произведения:

\[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{14^2 + (-42)^2 + (-21)^2} \]

Рассчитаем значения:

\[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{196 + 1764 + 441} = \sqrt{2401} = 49 \]

Шаг 4: Определяем площадь треугольника

Площадь треугольника выражается через модуль векторного произведения как половина площади параллелограмма, образованного векторами:

\[ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 49 = 24.5 \]

Ответ:

Площадь треугольника равна 24.5.