Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

Предмет задания: Аналитическая геометрия.

Раздел: Геометрические свойства векторов в пространстве, операции с векторами.

Решим 6 задачу: Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), если \( \mathbf{a} = 2\mathbf{p} - 3\mathbf{q} \), \( \mathbf{b} = 5\mathbf{p} + \mathbf{q} \), \( |\mathbf{p}| = 2 \), \( |\mathbf{q}| = 3 \), \( (\mathbf{p} \perp \mathbf{q}) \). Т. е. векторы \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \) взаимно перпендикулярны (\( (\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \pi/2 \)).

Алгоритм:

1. Площадь параллелограмма \( S \), построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), вычисляется по формуле: \[ S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \] Это модуль векторного произведения этих векторов.

2. Векторное произведение двух векторов выражается как: \[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta \] где \( \theta \) — угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \). Для этого сначала найдём длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) и угол между ними.

3. Длина векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

   \[ |\mathbf{a}| = |2\mathbf{p} - 3\mathbf{q}| = \sqrt{(2|\mathbf{p}|)^2 + (-3|\mathbf{q}|)^2} = \sqrt{(2 \times 2)^2 + (-3 \times 3)^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97} \]

   \[ |\mathbf{b}| = |5\mathbf{p} + \mathbf{q}| = \sqrt{(5|\mathbf{p}|)^2 + (|\mathbf{q}|)^2} = \sqrt{(5 \times 2)^2 + (1 \times 3)^2} = \sqrt{100 + 9} = \sqrt{109} \]

4. Угол между векторами: Из условия известно, что векторы \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \) перпендикулярны, поэтому угол между ними \( \theta = \pi/2 \), и \( \sin(\theta) = 1 \).

5. \[ S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin(\pi / 2) = \sqrt{97} \times \sqrt{109} \times 1 = \sqrt{97 \times 109} = \sqrt{10573} \]

   Приблизительно: \[ S \approx 102.82 \]

Ответ:

Площадь параллелограмма равна \( \sqrt{10573} \approx 102.82 \).

Теперь подставим все в формулу площади: