Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми

Определение предмета и раздела

Задание относится к математике, конкретнее к разделу аналитической геометрии и интегрального исчисления. Нам необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми.

Решение

Шаг 1: Составим уравнения для функций

Даны две кривые:

1. \( y = x^2 - 3x - 5 \)
2. \( y = 3x + 3 - x^2 \)

Наша цель — найти область между этими кривыми и вычислить её площадь.

Шаг 2: Найдём точки пересечения кривых

Чтобы найти границы интеграла, нужно решить уравнение, где обе функции равны друг другу:

\[ x^2 - 3x - 5 = 3x + 3 - x^2 \]

Приведем все члены уравнения в левую часть:

\[ x^2 - 3x - 5 - 3x - 3 + x^2 = 0 \]

Соберем подобные слагаемые:

\[ 2x^2 - 6x - 8 = 0 \]

Упростим уравнение, разделив его на 2:

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]

Точки пересечения кривых: \( x = -1 \) и \( x = 4 \).

Шаг 3: Найдём площадь между кривыми

Площадь между двумя кривыми можно найти как интеграл разности их значений по оси \( y \):

\[ S = \int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) \, dx \]

где \( f(x) \) — верхняя кривая, а \( g(x) \) — нижняя кривая.

Сравним \( f(x) = 3x + 3 - x^2 \) и \( g(x) = x^2 - 3x - 5 \). Видно, что во всем диапазоне (от \( x = -1 \) до \( x = 4 \)) график функции \( 3x + 3 - x^2 \) находится выше функции \( x^2 - 3x - 5 \).

Таким образом, площадь равна:

\[ S = \int_{-1}^{4} \left( (3x + 3 - x^2) - (x^2 - 3x - 5) \right) \, dx \]

Упростим выражение под знаком интеграла:

\[ (3x + 3 - x^2) - (x^2 - 3x - 5) = 3x + 3 - x^2 - x^2 + 3x + 5 = 6x + 8 - 2x^2 \]

Теперь вычислим интеграл:

\[ S = \int_{-1}^{4} (6x + 8 - 2x^2) \, dx \]

Разделим этот интеграл на три:

\[ S = \int_{-1}^{4} 6x \, dx + \int_{-1}^{4} 8 \, dx - \int_{-1}^{4} 2x^2 \, dx \]

1. \( \int 6x \, dx = 3x^2 \), тогда:

   \[ \left[ 3x^2 \right]_{-1}^{4} = 3(4^2) - 3((-1)^2) = 3(16) - 3(1) = 48 - 3 = 45 \]

2. \( \int 8 \, dx = 8x \), тогда:

   \[ \left[ 8x \right]_{-1}^{4} = 8(4) - 8(-1) = 32 + 8 = 40 \]

3. \( \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 \), тогда:

   \[ \left[ \frac{2}{3}x^3 \right]_{-1}^{4} = \frac{2}{3}(4^3) - \frac{2}{3}((-1)^3) = \frac{2}{3}(64) - \frac{2}{3}(-1) = \frac{128}{3} + \frac{2}{3} = \frac{130}{3} \]

Теперь сложим все результаты:

\[ S = 45 + 40 - \frac{130}{3} = 85 - \frac{130}{3} = \frac{255}{3} - \frac{130}{3} = \frac{125}{3} \]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 - 3x - 5 \) и \( y = 3x + 3 - x^2 \), равна:

\[ S = \frac{125}{3} \approx 41{,}67 \]