Вычислить площадь области D ограниченной линиями

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к математике, к разделу аналитической геометрии и интегрального исчисления. Мы имеем дело с уравнениями кривых на плоскости, а также областью, которую они ограничивают. Для вычисления площади области придется перейти к координатам и применить методы нахождения площади через интегралы.

Шаг 1. Преобразуем уравнения окружностей

Первым шагом преобразуем уравнения двух окружностей — ведь это квадратичные выражения, которые можно привести к стандартному виду уравнения окружности.

1. Уравнение первой окружности: \( x^2 + y^2 - 4y = 0 \)
   • Сначала приводим его к стандартному виду уравнения окружности. Запишем: \[ x^2 + (y^2 - 4y) = 0 \]
   • Завершим квадрат для \( y \): \[ y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4 \]
   • Тогда уравнение будет: \[ x^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0 \] \[ x^2 + (y - 2)^2 = 4 \]

   Итак, это уравнение окружности с центром в точке \( (0, 2) \) и радиусом \( R = 2 \).

2. Уравнение второй окружности: \( x^2 + y^2 - 8y = 0 \)
   • Преобразуем аналогичным образом: \[ x^2 + \left( y^2 - 8y \right) = 0 \]
   • Завершим квадрат для \( y \): \[ y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16 \]
   • Подставляем в уравнение: \[ x^2 + (y - 4)^2 = 16 \]

   Это уравнение второй окружности с центром в точке \( (0, 4) \) и радиусом \( R = 4 \).

Шаг 2. Уравнение прямой

Теперь преобразуем уравнение прямой \( y = \sqrt{3}x \). Это прямая через начало координат с угловым коэффициентом \( k = \sqrt{3} \), которая образует угол \( 60^\circ \) с осью \( Ox \).

Шаг 3. Понять взаимное расположение

Все уравнения определяют фигуру на плоскости:

1. Окружность радиуса 2 с центром в точке \( (0, 2) \).
2. Окружность радиуса 4 с центром в точке \( (0, 4) \).
3. Прямая \( y = \sqrt{3}x \), которая проходит через начало координат и пересекает оси.
4. Прямая \( x = 0 \) — это ось \( Oy \).

Шаг 4. Найдём точки пересечения

1. Пересечения прямых

• Прямая \( y = \sqrt{3}x \) пересекает ось \( Ox \) в начале координат: \( (0, 0) \).
• Прямая пересекает обе окружности:
  • Для первой окружности \( x^2 + (y - 2)^2 = 4 \), подставим \( y = \sqrt{3}x \) в уравнение: \[ x^2 + (\sqrt{3}x - 2)^2 = 4 \]
  • Раскроем скобки: \[ x^2 + (3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4) = 4 \] \[ 4x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 4 \]
  • Упростим: \[ 4x^2 - 4\sqrt{3}x = 0 \]
  • Вынесем общий множитель: \[ 4x(x - \sqrt{3}) = 0 \]
  • Отсюда \( x = 0 \) или \( x = \sqrt{3} \). Этот корень нам важен.
• Для второй окружности \( x^2 + (y - 4)^2 = 16 \) аналогично исследовать можно — точка выхода \( x \).

Мы ищем площадь, ограниченную этими кривыми.