Вычислить площадь части параболоида

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика (раздел называется аналитическая геометрия или многомерный анализ).
Раздел: Векторное исчисление и вычисление площадей поверхностей.

Задание

Дана поверхность, заданная уравнением параболоида: \[ z = 4 - x^2 - y^2 \]
Требуется найти площадь той части этой поверхности, где \( z \geq 0 \).

Шаг 1. Исследуем уравнение поверхности

Наше уравнение \( z = 4 - x^2 - y^2 \) представляет собой параболоид, открытый вниз, вершина которого находится в точке \( (0, 0, 4) \). При увеличении модулей \( |x| \) и \( |y| \), \( z \) уменьшается, пока не станет равным нулю. Чтобы найти область, где \( z \geq 0 \), приравняем \( z \) к нулю:

\[ 4 - x^2 - y^2 = 0 \]
\[ x^2 + y^2 = 4 \]

Таким образом, уравнение \( z = 0 \) соответствует окружности радиуса 2 в плоскости \( z = 0 \). То есть, площадь поверхности, которую мы ищем, ограничена окружностью с радиусом \( r = 2 \) в плоскости \( (x, y) \).

Шаг 2. Выбор метода для вычисления площади поверхности

Площадь части поверхности можно найти через формулу площади поверхности, заданной параметрически через координаты \( x \), \( y \) и \( z = f(x, y) \) как функцию от двух переменных. Формула для площади поверхности \( S \) имеет вид:

\[ S = \int\int_D \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dx \, dy \]

Здесь \( D \) — область, на которой происходит вычисление, в данном случае это круг радиуса 2 с центром в начале координат в плоскости \( (x, y) \).

Шаг 3. Найдём частные производные

Функция \( z = f(x, y) = 4 - x^2 - y^2 \), теперь найдём её частные производные по \( x \) и \( y \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -2x \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -2y \]

Теперь подставим эти частные производные в формулу для площади поверхности:

\[ S = \int\int_D \sqrt{1 + (-2x)^2 + (-2y)^2} \, dx \, dy \]
\[ S = \int\int_D \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} \, dx \, dy \]

Шаг 4. Переходим в полярные координаты

Чтобы дальше упростить интеграл, удобно перейти к полярным координатам. В полярных координатах \( x = r\cos\theta \), \( y = r\sin\theta \), а \( x^2 + y^2 = r^2 \). Также якобиан перехода в полярные координаты \( dx \, dy = r \, dr \, d\theta \). Границы области \( D \) — это круг радиуса 2, поэтому \( r \) меняется от 0 до 2, а угол \( \theta \) — от 0 до \( 2\pi \). Теперь интеграл перепишем в полярных координатах:

\[ S = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \sqrt{1 + 4r^2} \, r \, dr \, d\theta \]

Шаг 5. Вычисляем интегралы

Сначала вычислим внутренний интеграл по \( r \):

\[ I_r = \int_0^2 \sqrt{1 + 4r^2} \, r \, dr \]

Для этого сделаем замену переменных. Пусть \( u = 1 + 4r^2 \), тогда \( du = 8r \, dr \), и границы подстановки изменяются: при \( r = 0 \), \( u = 1 \); при \( r = 2 \), \( u = 17 \). Наш интеграл теперь становится:

\[ I_r = \frac{1}{8} \int_1^{17} \sqrt{u} \, du \]

Интеграл от \( \sqrt{u} \) это \( \frac{2}{3} u^{3/2} \). Подставляем:

\[ I_r = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_1^{17} \]
\[ I_r = \frac{1}{12} \left( 17^{3/2} - 1^{3/2} \right) \]
\[ I_r = \frac{1}{12} ( 70.246 - 1 ) = \frac{1}{12} \times 69.246 = 5.7705 \]

Теперь вычисляем внешний интеграл по \( \theta \):

\[ S = \int_0^{2\pi} 5.7705 \, d\theta = 5.7705 \times 2\pi = 36.258 \]

Ответ

Площадь заданной части параболоида равна приблизительно \( 36.26 \) квадратных единиц.