Вычислить площадь части параболоида

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика (раздел называется аналитическая геометрия или многомерный анализ).
Раздел: Векторное исчисление и вычисление площадей поверхностей.

Задание

Дана поверхность, заданная уравнением параболоида: $\text{[}z=4-x^2-y^2\text{]}$
Требуется найти площадь той части этой поверхности, где $\text{(}z\ge 0\text{)}$.

Шаг 1. Исследуем уравнение поверхности

Наше уравнение $\text{(}z=4-x^2-y^2\text{)}$ представляет собой параболоид, открытый вниз, вершина которого находится в точке $\text{(}(0,0,4)\text{)}$. При увеличении модулей $\text{(}|x|\text{)}$ и $\text{(}|y|\text{)}$, $\text{(}z\text{)}$ уменьшается, пока не станет равным нулю. Чтобы найти область, где $\text{(}z\ge 0\text{)}$, приравняем $\text{(}z\text{)}$ к нулю:

$\text{[}4-x^2-y^2=0\text{]}$
$\text{[}{x}^2+y^2=4\text{]}$

Таким образом, уравнение $\text{(}z=0\text{)}$ соответствует окружности радиуса 2 в плоскости $\text{(}z=0\text{)}$. То есть, площадь поверхности, которую мы ищем, ограничена окружностью с радиусом $\text{(}r=2\text{)}$ в плоскости $\text{(}(x,y)\text{)}$.

Шаг 2. Выбор метода для вычисления площади поверхности

Площадь части поверхности можно найти через формулу площади поверхности, заданной параметрически через координаты $\text{(}x\text{)}$, $\text{(}y\text{)}$ и $\text{(}z=f(x,y)\text{)}$ как функцию от двух переменных. Формула для площади поверхности $\text{(}S\text{)}$ имеет вид:

$\text{[}S=\int {\int }_D\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }y}\right)}^2}dxdy\text{]}$

Здесь $\text{(}D\text{)}$ — область, на которой происходит вычисление, в данном случае это круг радиуса 2 с центром в начале координат в плоскости $\text{(}(x,y)\text{)}$.

Шаг 3. Найдём частные производные

Функция $\text{(}z=f(x,y)=4-x^2-y^2\text{)}$, теперь найдём её частные производные по $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}=-2x\text{]}$
$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }y}=-2y\text{]}$

Теперь подставим эти частные производные в формулу для площади поверхности:

$\text{[}S=\int {\int }_D\sqrt{1+(-2x{)}^2+(-2y{)}^2}dxdy\text{]}$
$\text{[}S=\int {\int }_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy\text{]}$

Шаг 4. Переходим в полярные координаты

Чтобы дальше упростить интеграл, удобно перейти к полярным координатам. В полярных координатах $\text{(}x=r\cos \theta \text{)}$, $\text{(}y=r\sin \theta \text{)}$, а $\text{(}{x}^2+y^2=r^2\text{)}$. Также якобиан перехода в полярные координаты $\text{(}dxdy=rdrd\theta \text{)}$. Границы области $\text{(}D\text{)}$ — это круг радиуса 2, поэтому $\text{(}r\text{)}$ меняется от 0 до 2, а угол $\text{(}\theta \text{)}$ — от 0 до $\text{(}2\pi \text{)}$. Теперь интеграл перепишем в полярных координатах:

$\text{[}S={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2\sqrt{1+4r^2}rdrd\theta \text{]}$

Шаг 5. Вычисляем интегралы

Сначала вычислим внутренний интеграл по $\text{(}r\text{)}$:

$\text{[}{I}_r={\int }_0^2\sqrt{1+4r^2}rdr\text{]}$

Для этого сделаем замену переменных. Пусть $\text{(}u=1+4r^2\text{)}$, тогда $\text{(}du=8rdr\text{)}$, и границы подстановки изменяются: при $\text{(}r=0\text{)}$, $\text{(}u=1\text{)}$; при $\text{(}r=2\text{)}$, $\text{(}u=17\text{)}$. Наш интеграл теперь становится:

$\text{[}{I}_r=\frac{1}{8}{\int }_1^{17}\sqrt{u}du\text{]}$

Интеграл от $\text{(}\sqrt{u}\text{)}$ это $\text{(}\frac{2}{3}{u}^{3/2}\text{)}$. Подставляем:

$\text{[}{I}_r=\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}{\left[u^{3/2}\right]}_1^{17}\text{]}$
$\text{[}{I}_r=\frac{1}{12}({17}^{3/2}-1^{3/2})\text{]}$
$\text{[}{I}_r=\frac{1}{12}(70.246-1)=\frac{1}{12}\times 69.246=5.7705\text{]}$

Теперь вычисляем внешний интеграл по $\text{(}\theta \text{)}$:

$\text{[}S={\int }_0^{2\pi }5.7705d\theta =5.7705\times 2\pi =36.258\text{]}$

Ответ

Площадь заданной части параболоида равна приблизительно $\text{(}36.26\text{)}$ квадратных единиц.