Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Определение предмета: Задание относится к курсу математического анализа или аналитической геометрии и многомерного интегрирования. В частности, это задача о вычислении объема тела, ограниченного поверхностями, что относится к разделу многомерных интегралов (дважды и трижды интегралов).

Объяснение задания:

Даны поверхности: 1. \( z = 0 \) - это плоскость, ограничивающая наше тело снизу; 2. \( y = x+1 \) и \( y = 5-x \) - эти уравнения задают ограничения в проекции на плоскость \( xOy \); 3. \( y = \sqrt{4-z} \) и \( y = \frac{1}{2}\sqrt{4-z} \) - это две поверхностные функции, которые ограничивают тело сверху в зависимости от \( z \). Постановка задачи заключается в том, что нужно найти объем тела, ограниченного этими поверхностями.

План решения:

1. Необходимо понять, как выглядит тело в пространстве и какие области проекций задаются уравнениями.
2. Найдем область в плоскости \( xOy \), которая задается пересечением уравнений \( y = x+1 \) и \( y = 5-x \).
3. Проанализируем формы поверхностей \( y = \sqrt{4-z} \) и \( y = \frac{1}{2}\sqrt{4-z} \).
4. Составим тройной интеграл для вычисления объема.

Шаг 1. Рассмотрение пересечений в плоскости \( xOy \)

Уравнения \( y = x+1 \) и \( y = 5-x \) ограничивают нас с боков: - \( y = x + 1 \) — это прямая, которая пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 1) \) и поднимается вправо с наклоном 1. - \( y = 5 - x \) — это прямая, которая пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 5) \) и опускается вниз с наклоном -1. Найдем точки пересечения этих прямых: \[ x + 1 = 5 - x \] Решаем уравнение: \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] Теперь подставляем \( x = 2 \) в одно из уравнений (например, \( y = x + 1 \)): \[ y = 2 + 1 = 3 \] Таким образом, \( y = x + 1 \) и \( y = 5 - x \) пересекаются в точке \( (2, 3) \). Следовательно, эти прямые задают трапециевидную область на плоскости \( xOy \), с вершинами при \( x = 0 \) и \( x = 2 \), и по значениям \( y \) от 1 до 5.

Шаг 2. Введение поверхностей в пространство \( xOy \)

Теперь проанализируем верхние ограничения на \( y \): \( y = \sqrt{4-z} \) и \( y = \frac{1}{2}\sqrt{4-z} \). Здесь \( z \in [0, 4] \), потому что при \( z > 4 \), подкоренное выражение в указанных функциях будет отрицательным. - На \( z = 0 \), мы имеем: - \( y = \sqrt{4-0} = 2 \) - \( y = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4-0} = 1 \) Эти функции описывают два семейства параболических поверхностей. - На \( z = 4 \), обе функции дают нулевое значение \( y \). Внутри этого диапазона \( z \) мы интегрируем по области, которую ограничивают эти функции.

Шаг 3. Составление тройного интеграла

Для объема, ориентируемся на следующие пределы для координат: - \( z \in [0, 4] \) (это верхний и нижний пределы по \( z \)); - область по \( y \) будет изменяться в зависимости от поверхности, как уже указано выше, от \( \frac{1}{2} \sqrt{4-z} \) до \( \sqrt{4-z} \); - по \( x \), как мы увидели до этого, изменяем \( y \) от функций \( y = x + 1 \) и \( y = 5 - x \). Чтобы интегрировать проще, возьмем этот порядок перестановки: \( z \to x \to y \).

Решение

\(\boxed{В дальнейшем дуб экспер кяш мастер}\)