Определение предмета и раздела: Это задание относится к области геометрии, конкретно к разделу аналитической геометрии в пространстве.
Мы будем работать с координатами точек для нахождения объема пирамиды, площади грани и высоты, опущенной на одну из граней пирамиды.
Даны координаты точек: \( A_1(2; 3; 1) \), \( A_2(4; 1; -2) \), \( A_3(6; 3; 7) \), \( A_4(7; 5; -3) \).
Шаг 1: Найдем площадь грани \( A_1A_2A_3 \).
Площадь треугольника в пространстве можно найти через векторное произведение двух векторов, образованных точками треугольника.
- Запишем вектора \( \overrightarrow{A_1A_2} \) и \( \overrightarrow{A_1A_3} \):
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (4 - 2; 1 - 3; -2 - 1) = (2; -2; -3) \]
\[ \overrightarrow{A_1A_3} = (6 - 2; 3 - 3; 7 - 1) = (4; 0; 6) \]
- Найдём векторное произведение \( \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} \):
\[ \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & -3 \\ 4 & 0 & 6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)\cdot6 - (-3)\cdot0) - \mathbf{j}(2\cdot6 - (-3)\cdot4) + \mathbf{k}(2\cdot0 - (-2)\cdot4) \]
\[ = \mathbf{i}(-12 - 0) - \mathbf{j}(12 + 12) + \mathbf{k}(0 + 8) \]
\[ = (-12)\mathbf{i} - (24)\mathbf{j} + 8\mathbf{k} \]
Таким образом, \( \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = (-12; -24; 8) \).
- Найдём длину этого вектора, так как длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника:
\[ |\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{(-12)^2 + (-24)^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 576 + 64} = \sqrt{784} = 28 \]
- Площадь треугольника \( A_1A_2A_3 \) равна половине длины векторного произведения:
\[ S_{A_1A_2A_3} = \frac{28}{2} = 14 \]
Шаг 2: Найдём объем пирамиды.
Формула объема пирамиды через три ребра и векторное произведение:
\[ V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \left( \overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4} \right) \right| \]
- Сначала найдём вектор \( \overrightarrow{A_1A_4} \):
\[ \overrightarrow{A_1A_4} = (7 - 2; 5 - 3; -3 - 1) = (5; 2; -4) \]
- Теперь найдём векторное произведение \( \overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4} \):
\[ \overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 0 & 6 \\ 5 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0\cdot(-4) - 6\cdot2) - \mathbf{j}(4\cdot(-4) - 6\cdot5) + \mathbf{k}(4\cdot2 - 0\cdot5) \]
\[ = \mathbf{i}(0 - 12) - \mathbf{j}(-16 - 30) + \mathbf{k}(8 - 0) \]
\[ = (-12)\mathbf{i} - (-46)\mathbf{j} + 8\mathbf{k} = (-12; 46; 8) \]
- Найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{A_1A_2} \cdot (-12; 46; 8) \):
\[ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot (-12; 46; 8) = 2\cdot(-12) + (-2)\cdot46 + (-3)\cdot8 = -24 - 92 - 24 = -140 \]
- Теперь можем найти объем:
\[ V = \frac{1}{6} \left| -140 \right| = \frac{140}{6} = \frac{70}{3} \]
Шаг 3: Найдём высоту пирамиды, опущенную на грань \( A_1A_2A_3 \).
Высота пирамиды — это расстояние от точки \( A_4(7; 5; -3) \) до плоскости, проходящей через точки \( A_1(2; 3; 1) \), \( A_2(4; 1; -2) \), \( A_3(6; 3; 7) \). Уравнение плоскости через три точки можно найти через определитель:
\[ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 \]