Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Для начала напомним, что объём пирамиды можно вычислить с помощью формулы: \[ V = \frac{1}{6} \cdot \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \cdot \vec{AD} \right| \] где \( \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} \) — векторы, образованные вершинами пирамиды, а \( \times \cdot \) — обозначает векторное произведение.
Пусть \( \vec{AB} = (x_1, y_1, z_1) \) и \( \vec{AC} = (x_2, y_2, z_2) \). Тогда их векторное произведение определяется как:
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(y_1 z_2 - z_1 y_2) - \mathbf{j}(x_1 z_2 - z_1 x_2) + \mathbf{k}(x_1 y_2 - y_1 x_2) \]Подставим наши координаты \( \vec{AB} = (-2, 4, 0) \) и \( \vec{AC} = (-2, 0, 2) \).
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \mathbf{i}(4 \times 2 - 0 \times 0) - \mathbf{j}((-2) \times 2 - 0 \times (-2)) + \mathbf{k}((-2) \times 0 - 4 \times (-2)) \] \[ = \mathbf{i}(8 - 0) - \mathbf{j}((-4) - 0) + \mathbf{k}(0 + 8) \] \[ = 8\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 8\mathbf{k} \]Таким образом, \( \vec{AB} \times \vec{AC} = (8, 4, 8) \).
Скалярное произведение двух векторов \( (x_1, y_1, z_1) \cdot (x_2, y_2, z_2) \) вычисляется по формуле:
\[ x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \] \[ 8 \times 1 + 4 \times 4 + 8 \times 3 = 8 + 16 + 24 = 48 \]Подставляем координаты: