Задание относится к предмету аналитической геометрии, который является разделом математики.
1. Площадь треугольника в пространстве: Треугольник имеет вершины \(A(2;0;1)\), \(B(3;1;2)\) и \(C(1;-2;0)\). Для вычисления площади треугольника, заданного в пространстве, воспользуемся векторным произведением.
- Для начала найдём векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):
\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 2; 1 - 0; 2 - 1) = (1; 1; 1) \]
\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 2; -2 - 0; 0 - 1) = (-1; -2; -1) \]
- Теперь найдём векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\):
\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -1 \end{vmatrix} \]
Решим этот детерминант по правилу Саррюса:
\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-2)) - \mathbf{j} \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k} \cdot (1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1)) \]
\[ = \mathbf{i} \cdot (-1 + 2) - \mathbf{j} \cdot (-1 + 1) + \mathbf{k} \cdot (-2 + 1) \]
\[ = \mathbf{i} \cdot 1 - \mathbf{j} \cdot 0 + \mathbf{k} \cdot (-1) = (1; 0; -1) \]
- Найдём длину этого вектора:
\[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \]
- Площадь треугольника равна половине модуля длины векторного произведения:
\[ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Таким образом, площадь треугольника \(S = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
2. Угол при вершине \(A\): Теперь найдём угол при вершине \(A\). Он вычисляется как угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).
- Для этого используем формулу косинуса угла между векторами:
\[ \cos\varphi = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} \]
Найдём скалярное произведение \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\):
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-1) = -1 - 2 - 1 = -4 \]
- Теперь найдём длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):
\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \]
\[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \]
- Тогда косинус угла \( \varphi \):
\[ \cos\varphi = \frac{-4}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-4}{\sqrt{18}} = \frac{-4}{3\sqrt{2}} \]
- Угол \( \varphi \) равен:
\[ \varphi = \arccos\left( \frac{-4}{3\sqrt{2}} \right) \]