Вычисление площади ограниченной фигуры

Этот пример относится к предмету "Математика", разделу "Геометрия", а конкретнее - к вычислению площади ограниченной фигуры.

Решение:

Сначала изобразим фигуру, чтобы понять, какую площадь мы ищем. Для этого рассмотрим все линии, которые ограничивают фигуру:

1. \(y = x + 4\) — это уравнение прямой линии с угловым коэффициентом 1 и начальным значением \(4\).
2. \(x = -1\) — это вертикальная прямая линия на уровне \(x = -1\).
3. Ось Ох — горизонтальная ось на уровне \(y = 0\).

Построение графика:

1. Построим первую прямую \(y = x + 4\).
   • При \(x = -1\), \(y = -1 + 4 = 3\).
   • При \(x = 0\), \(y = 0 + 4 = 4\).
2. Отметим вертикальную прямую \(x = -1\).
3. Обозначим ось \(Ox\) (при \(y = 0\)).

Таким образом, наша фигура ограничена точками \((-1, 3)\), \((0, 4)\) и точкой пересечения прямой \(y = x+4\) с осью Ор.

Теперь найдём точку пересечения \(y = x + 4\) с осью Ox (\(y=0\)): \[ 0 = x + 4 \implies x = -4 \] Наша фигура ограничена точками \((-1, 3)\), точки пересечения \((0, 4)\) с осью и нижней границей (ось Ox).

Найдём площадь:

Фигура, образованная этими координатами, представляет собой треугольник с вершинами:

1. \((-1, 3)\)
2. \((0, 4)\)
3. \((-4, 0)\)

Используем формулу для площади треугольника по координатам его вершин: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\right| \] Подставим координаты вершин \((-1, 3)\), \((0, 4)\), \((-4, 0)\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot \left| -1(4 - 0) + 0(0 - 3) + (-4)(3 - 4) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot \left| -1 \cdot 4 + 0 \cdot (-3) + (-4) \cdot (-1) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot \left| -4 + 0 + 4 \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \] Итак, площадь данной фигуры составляет 2 квадратные единицы.