Вычисление массы кривой при заданной плотности

Определение предмета:

Это задача из области высшей математики. Конкретно она относится к аналитической геометрии и математическому анализу, раздел — вычисление массы кривой при заданной плотности. Часто такие задачи касаются как геометрии в плоскости, так и понятий из физики (массы и плотности).

Шаги решения задачи:
  1. Масса кривой по плотности вычисляется через интеграл, используя следующую формулу: \[ M = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mu(t) \cdot ds \]

    Где:

    • \( M \) — это масса дуги,
    • \( \mu(t) \) — плотность в точке на дуге, дана как \( \mu(t) = t^2 + 1 \),
    • \( ds \) — это элемент длины дуги.

    Для элемента длины дуги нам понадобится воспользоваться выражением:

    \[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \]

    Теперь перейдем к решению задачи шаг за шагом.

  2. Выведите \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \)

    Функции \( x(t) \) и \( y(t) \) заданы:

    \[ x(t) = 4 (\cos t + t \sin t) \] \[ y(t) = 4 (\sin t - t \cos t) \]

    Для элемента длины дуги сначала найдем производные \( x(t) \) и \( y(t) \) по \( t \).

    Производная x(t):
    \[ \frac{dx}{dt} = 4 \left[ - \sin t + (\sin t + t \cos t) \right] = 4 \left( t \cos t \right) \]
    Производная y(t):
    \[ \frac{dy}{dt} = 4 \left[ \cos t - (\cos t - t \sin t) \right] = 4 \left( t \sin t \right) \]
  3. Найдите элемент длины дуги \( ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt \)

    Теперь подставьте производные:

    \[ ds = \sqrt{ \left( 4 t \cos t \right)^2 + \left( 4 t \sin t \right)^2 } \, dt \] \[ ds = \sqrt{ 16 t^2 \cos^2 t + 16 t^2 \sin^2 t } \, dt \]

    Вынесем общий множитель и используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \):

    \[ ds = \sqrt{ 16 t^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) } \, dt = \sqrt{ 16 t^2 } \, dt = 4 |t| \, dt \]

    Но на нашем интервале \( 0 \leq t \leq 2 \), \( t \geq 0 \), так что \( |t| = t \). Значит:

    \[ ds = 4t \, dt \]
  4. Использование формулы для массы:

    Масса дуги вычисляется по формуле:

    \[ M = \int\limits_0^2 \mu(t) \cdot ds \]

    Подставим плотность \( \mu(t) = t^2 + 1 \) и элемент длины дуги \( ds = 4t \, dt \):

    \[ M = \int\limits_0^2 (t^2 + 1) \cdot 4t \, dt \]

    Распределяем множитель:

    \[ M = 4 \int\limits_0^2 (t^3 + t) \, dt \]

    Теперь интегрируем:

    \[ M = 4 \left[ \frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2} \right]_0^2 \]

    Подставляем пределы интегрирования \( 0 \) и \( 2 \):

    \[ M = 4 \left[ \frac{2^4}{4} + \frac{2^2}{2} \right] \] \[ M = 4 \left[ \frac{16}{4} + \frac{4}{2} \right] = 4 \left[ 4 + 2 \right] = 4 \times 6 = 24 \]
Ответ:

Масса дуги равна \( 24 \).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн