Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Это задача из области высшей математики. Конкретно она относится к аналитической геометрии и математическому анализу, раздел — вычисление массы кривой при заданной плотности. Часто такие задачи касаются как геометрии в плоскости, так и понятий из физики (массы и плотности).
Где:
Для элемента длины дуги нам понадобится воспользоваться выражением:
\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \]Теперь перейдем к решению задачи шаг за шагом.
Функции \( x(t) \) и \( y(t) \) заданы:
\[ x(t) = 4 (\cos t + t \sin t) \] \[ y(t) = 4 (\sin t - t \cos t) \]Для элемента длины дуги сначала найдем производные \( x(t) \) и \( y(t) \) по \( t \).
Теперь подставьте производные:
\[ ds = \sqrt{ \left( 4 t \cos t \right)^2 + \left( 4 t \sin t \right)^2 } \, dt \] \[ ds = \sqrt{ 16 t^2 \cos^2 t + 16 t^2 \sin^2 t } \, dt \]Вынесем общий множитель и используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \):
\[ ds = \sqrt{ 16 t^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) } \, dt = \sqrt{ 16 t^2 } \, dt = 4 |t| \, dt \]Но на нашем интервале \( 0 \leq t \leq 2 \), \( t \geq 0 \), так что \( |t| = t \). Значит:
\[ ds = 4t \, dt \]Масса дуги вычисляется по формуле:
\[ M = \int\limits_0^2 \mu(t) \cdot ds \]Подставим плотность \( \mu(t) = t^2 + 1 \) и элемент длины дуги \( ds = 4t \, dt \):
\[ M = \int\limits_0^2 (t^2 + 1) \cdot 4t \, dt \]Распределяем множитель:
\[ M = 4 \int\limits_0^2 (t^3 + t) \, dt \]Теперь интегрируем:
\[ M = 4 \left[ \frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2} \right]_0^2 \]Подставляем пределы интегрирования \( 0 \) и \( 2 \):
\[ M = 4 \left[ \frac{2^4}{4} + \frac{2^2}{2} \right] \] \[ M = 4 \left[ \frac{16}{4} + \frac{4}{2} \right] = 4 \left[ 4 + 2 \right] = 4 \times 6 = 24 \]Масса дуги равна \( 24 \).