Векторы и координаты, линейные комбинации векторов

Предмет: линейная алгебра (или аналитическая геометрия).

Раздел: векторы и координаты, линейные комбинации векторов.

Давай разберем данное решение пошагово.

В исходных записях у нас есть три вектора:

• \( \vec{a}_1 = a(1, 0, 0) \)
• \( \vec{a}_2 = a\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \)
• \( \vec{a}_3 = a\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2\sqrt{3}}, \sqrt{2}\right) \)

Обозначено также, что \( \vec{r} \) — это линейная комбинация векторов \( \vec{a}_1 \), \( \vec{a}_2 \), \( \vec{a}_3 \):

\[ \vec{r} = h_1 \vec{a}_1 + h_2 \vec{a}_2 + h_3 \vec{a}_3 \]

Промежуточные вычисления:

На следующем шаге подставляем коэффициенты \( h_1, h_2, h_3 \) (видимо, взятые из условия задачи). Они равны, исходя из записи:

• \( h_1 = 1 \)
• \( h_2 = 3 \)
• \( h_3 = -1 \)

Тогда вычисление вектора \( \vec{r} \) происходит следующим образом:

\[ \vec{r} = 1 \cdot (1, 0, 0) + 3 \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) + (-1) \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2\sqrt{3}}, \sqrt{2}\right) \]

Теперь подробно посчитаем каждый член:

1. \( 1 \cdot (1, 0, 0) = (1, 0, 0) \)
2. \( 3 \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right) \)
3. \( -1 \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2\sqrt{3}}, \sqrt{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2\sqrt{3}}, -\sqrt{2}\right) \)

Суммируем все три вектора:

\[ \vec{r} = (1, 0, 0) + \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0\right) + \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2\sqrt{3}}, -\sqrt{2}\right) \]

Складываем компоненты по каждой координате (x, y, z):

1. По x: \[ 1 + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1 + 1 = 2 \]
2. По y: \[ 0 + \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \left( 3\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{9}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \]
3. По z: \[ 0 + 0 - \sqrt{2} = -\sqrt{2} \]

Окончательный ответ:

\[ \vec{r} = \left( 2, \frac{4}{\sqrt{3}}, -\sqrt{2} \right) \]