В треугольнике МNР написать уравнение медианы, проведённой извершины М, если известно, что М(4, -1), N (2, 3), Р(-4, -2).

Предмет: Геометрия
Раздел: Аналитическая геометрия на плоскости

Задача состоит в нахождении уравнения медианы, проведенной из вершины ( M ) треугольника ( MNP ). Для этого нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Найти координаты середины стороны ( NP )

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Сначала найдём координаты середины стороны ( NP ) по формуле:

 \left( x_c, y_c \right) = \left( \frac{x_N + x_P}{2}, \frac{y_N + y_P}{2} \right), 

где ( (x_N, y_N) = (2, 3) ) и ( (x_P, y_P) = (-4, -2) ).

Подставляем значения:

 x_c = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1, 

 y_c = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5. 

Таким образом, координаты середины стороны ( NP ):
 \left( x_c, y_c \right) = (-1, 0.5). 

Шаг 2. Записать уравнение прямой, проходящей через точки ( M(4, -1) ) и ( (-1, 0.5) )

Уравнение прямой, проходящей через две точки, задаётся формулой:

 y - y_1 = k(x - x_1), 

где ( k ) — угловой коэффициент, а ( (x_1, y_1) ) — координаты одной из точек.

Найдём угловой коэффициент ( k ):

 k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, 

где ( (x_1, y_1) = (4, -1) ), ( (x_2, y_2) = (-1, 0.5) ).

Подставляем значения:

 k = \frac{0.5 - (-1)}{-1 - 4} = \frac{0.5 + 1}{-5} = \frac{1.5}{-5} = -0.3. 

Теперь уравнение прямой принимает вид:

 y - (-1) = -0.3(x - 4). 

Упростим это выражение:

 y + 1 = -0.3x + 1.2. 

 y = -0.3x + 1.2 - 1. 

 y = -0.3x + 0.2. 

Ответ:

Уравнение медианы, проведённой из вершины ( M(4, -1) ), имеет вид:

 y = -0.3x + 0.2.