В треугольнике ABC найти координаты точки пересечения высоты, опущенной из вершины B, и медианы, опущенной из вершины C

Условие:

В треугольнике ABC найти координаты точки пересечения высоты, опущенной из вершины B, и медианы, опущенной из вершины C, если A(8;-8), B(-9;2), C(2;-8)

Решение:

Данное задание относится к предмету геометрия и разделу аналитической геометрии на плоскости. Нам необходимо найти координаты точки пересечения высоты, опущенной из вершины B, и медианы, опущенной из вершины C, в треугольнике ABC с известными координатами вершин. Для начала найдём уравнения прямых, на которых лежат эти высота и медиана. Высота, опущенная из вершины B на сторону AC, будет перпендикулярна стороне AC. Уравнение стороны AC можно найти, используя координаты точек A и C. Поскольку уравнение прямой через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) имеет вид \( (y - y_1) = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}(x - x_1) \), подставим координаты точек A и C: \( (y + 8) = \frac{(-8 + 8)}{(2 - 8)}(x - 8) \) Так как \( AC \) горизонтальна (координаты y обеих точек равны), уравнение упрощается до \( y = -8 \). Теперь найдём уравнение перпендикуляра к \( AC \), проходящего через точку B. Поскольку \( AC \) горизонтальна, перпендикуляр к ней будет вертикальным, то есть его уравнение просто \( x = -9 \), так как все точки на этой линии будут иметь абсциссу, равную координате x точки B. Затем найдем уравнение медианы, опущенной из вершины C. Медиана делит сторону AB пополам, поэтому нам нужно найти середину отрезка AB. Координаты середины отрезка можно найти как среднее арифметическое соответствующих координат: \( M_x = \frac{A_x + B_x}{2} = \frac{8 - 9}{2} = -\frac{1}{2} \) \( M_y = \frac{A_y + B_y}{2} = \frac{-8 + 2}{2} = -3 \) Точка M(-1/2; -3) - середина AB. Теперь, используя координаты точек C и M, найдем уравнение медианы CM: \( (y + 8) = \frac{(-3 + 8)}{(-\frac{1}{2} - 2)}(x - 2) \) Упростим это уравнение: \( (y + 8) = \frac{5}{-\frac{5}{2}}(x - 2) \) \( (y + 8) = -2(x - 2) \) \( y = -2x + 4 - 8 \) \( y = -2x - 4 \) Теперь у нас есть уравнение медианы. Наконец, чтобы найти точку пересечения высоты \( x = -9 \) и медианы \( y = -2x - 4 \), подставим значение x из уравнения высоты в уравнение медианы: \( y = -2(-9) - 4 \) \( y = 18 - 4 \) \( y = 14 \) Таким образом, координаты точки пересечения высоты из вершины B и медианы из вершины C: (-9; 14).