В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А1(1,-2,4) В1(2,-2,2), С1(2,-1,3), D1(5,-3,0)

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия

Задание: В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды: \( A_1(1, -2, 4) \), \( B_1(2, -2, 2) \), \( C_1(2, -1, 3) \), \( D_1(5, -3, 0) \). Решить последовательно.

Шаг 1: Найти векторы пирамиды

Для начала найдём координаты векторов, составленных из данных точек.

1. Вектор \( \overrightarrow{A_1B_1} \): \[ \overrightarrow{A_1B_1} = B_1 - A_1 = (2 - 1, -2 - (-2), 2 - 4) = (1, 0, -2) \]
2. Вектор \( \overrightarrow{A_1C_1} \): \[ \overrightarrow{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (2 - 1, -1 - (-2), 3 - 4) = (1, 1, -1) \]
3. Вектор \( \overrightarrow{A_1D_1} \): \[ \overrightarrow{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (5 - 1, -3 - (-2), 0 - 4) = (4, -1, -4) \]

Шаг 2: Проверка коллинеарности векторов

Сначала проверим, не лежат ли точки на одной прямой (нет ли коллинеарности). Для векторов \( \overrightarrow{A_1B_1} \) и \( \overrightarrow{A_1C_1} \) найдем их векторное произведение: \[ \overrightarrow{A_1B_1} \times \overrightarrow{A_1C_1} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = i(0 - (-2)) - j(1 - (-2)) + k(1 - 1) = 2i - 3j + 0k = (2, -3, 0) \] Полученный вектор не равен нулю, значит, векторы не коллинеарны.

Шаг 3: Объем пирамиды

Объем пирамиды можно найти через составление параллелепипеда. Воспользуемся формулой для объема через смешанное произведение векторов: \[ V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{A_1B_1} \cdot (\overrightarrow{A_1C_1} \times \overrightarrow{A_1D_1}) \right| \] Сначала найдём векторное произведение: \[ \overrightarrow{A_1C_1} \times \overrightarrow{A_1D_1} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & -4 \end{vmatrix} = i(1 \cdot (-4) - (-1) \cdot (-1)) - j(1 \cdot (-4) - (-1) \cdot 4) + k(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 4) \] \[ = i(-4 - 1) - j(-4 + 4) + k(-1 - 4) \] \[ = -5i - 0j - 5k = (-5, 0, -5) \] Теперь найдём скалярное произведение \( \overrightarrow{A_1B_1} \cdot (\overrightarrow{A_1C_1} \times \overrightarrow{A_1D_1}) \): \[ \overrightarrow{A_1B_1} \cdot (-5, 0, -5) = (1, 0, -2) \cdot (-5, 0, -5) \] \[ = 1 \cdot (-5) + 0 \cdot 0 + (-2) \cdot (-5) \] \[ = -5 + 0 + 10 = 5 \] Объем пирамиды: \[ V = \frac{1}{6} \left| 5 \right| = \frac{5}{6} \] Ответ: Объем пирамиды равен \( \frac{5}{6} \) кубических единиц.