Уравнение плоскости и высоты пирамиды

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Уравнение плоскости и высоты пирамиды

Дано:

Вершины тетраэдра:
A_1(-5; -1; 0),
A_2(-8; 3; -3),
A_3(-2; -2; -5),
A_4(-1; -1; -5).

Необходимо:

1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки A_1, A_2, A_3.
2. Найти уравнение высоты пирамиды A_1H, где H — основание высоты, опущенной из A_1 на плоскость A_2A_3A_4.

Шаг 1: Уравнение плоскости через три точки

Общее уравнение плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz + D = 0.

Для нахождения коэффициентов A, B, C используем векторное уравнение плоскости через три точки.
Найдем два направляющих вектора:
\overrightarrow{A_1A_2} = (-8 + 5; 3 + 1; -3 - 0) = (-3; 4; -3),
\overrightarrow{A_1A_3} = (-2 + 5; -2 + 1; -5 - 0) = (3; -1; -5).

Найдем векторное произведение этих векторов, которое будет нормальным к плоскости:
\mathbf{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -3 & 4 & -3 \ 3 & -1 & -5 \end{vmatrix} 

Вычислим определитель:
 \mathbf{n} = \mathbf{i} (4 \cdot (-5) - (-3) \cdot (-1)) - \mathbf{j} (-3 \cdot (-5) - (-3) \cdot 3) + \mathbf{k} (-3 \cdot (-1) - 4 \cdot 3) 

\mathbf{n} = \mathbf{i} (-20 - 3) - \mathbf{j} (15 - (-9)) + \mathbf{k} (3 - 12)
\mathbf{n} = \mathbf{i} (-23) - \mathbf{j} (24) + \mathbf{k} (-9)

Таким образом, нормальный вектор плоскости:
\mathbf{n} = (-23; -24; -9).

Подставляем точку A_1(-5; -1; 0) в уравнение плоскости:
-23(x + 5) - 24(y + 1) - 9(z - 0) = 0.

Раскрываем скобки:
-23x - 115 - 24y - 24 - 9z = 0.

Приводим к стандартному виду:
23x + 24y + 9z = -139.

Шаг 2: Уравнение высоты пирамиды

Высота A_1H перпендикулярна плоскости A_2A_3A_4.
Для нахождения координат точки H используем формулу проекции точки на плоскость:

 H \left( x_0 - \frac{A f}{A^2 + B^2 + C^2}, y_0 - \frac{B f}{A^2 + B^2 + C^2}, z_0 - \frac{C f}{A^2 + B^2 + C^2} \right) 

Где:
(x_0, y_0, z_0) = (-5, -1, 0) — координаты A_1,
A = 23, B = 24, C = 9,
f = 23(-5) + 24(-1) + 9(0) + 139.

Вычисляем:
f = -115 - 24 + 0 + 139 = 0.

Так как f = 0, точка A_1 уже лежит на плоскости, следовательно, H = A_1 и высота совпадает с точкой A_1.

Таким образом, уравнение высоты просто задается направляющим вектором нормали:
\frac{x + 5}{23} = \frac{y + 1}{24} = \frac{z}{9}.

Ответ

1. Уравнение плоскости:
   23x + 24y + 9z + 139 = 0.
2. Уравнение высоты:
   \frac{x + 5}{23} = \frac{y + 1}{24} = \frac{z}{9}.