Уравнение линии на плоскости

Задание 1: Уравнение линии на плоскости

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Уравнения линий на плоскости

Уравнение линии на плоскости бывает:

1. Явное уравнение линии:
   Уравнение вида y = f(x), где y выражено через x. Например, y = 2x + 3.

2. Неявное уравнение линии:
   Уравнение вида F(x, y) = 0, где x и y связаны некоторым выражением. Например, x^2 + y^2 - 4 = 0 (уравнение окружности).

Задание 2: Кривые второго порядка

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Кривые второго порядка

Кривые второго порядка делятся на:

1. Эллипс:
   Уравнение в каноническом виде:
   \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, где a и b — длины полуосей.

2. Гипербола:
   Уравнение в каноническом виде:
   \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.

3. Парабола:
   Уравнение в каноническом виде:
   y^2 = 2px или x^2 = 2py, где p — параметр параболы.

Задание 3: Скалярное произведение векторов

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Векторы

Даны векторы:
\mathbf{a} = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k},
\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - \mathbf{k}.

Скалярное произведение вычисляется по формуле:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.

Подставим координаты:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 6 + 3 - 2 = 7.

Ответ: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 7.

Задание 4: Найти x

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Матрицы

Дано:
x \begin{pmatrix} 4 & 3 \ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 \ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Для нахождения x, умножим обе части на обратную матрицу \begin{pmatrix} 4 & 3 \ 3 & 1 \end{pmatrix}^{-1}:
x = \begin{pmatrix} 6 & 2 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 3 \ 3 & 1 \end{pmatrix}^{-1}.

Обратную матрицу вычислим по формуле:
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \text{adj}(A), где \det A — определитель, а \text{adj}(A) — присоединённая матрица.

1. Вычислим определитель:
   \det A = 4 \cdot 1 - 3 \cdot 3 = 4 - 9 = -5.

2. Найдём присоединённую матрицу:
   \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -3 \ -3 & 4 \end{pmatrix}.

3. Обратная матрица:
   A^{-1} = \frac{1}{-5} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 \ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} \ \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \end{pmatrix}.

Теперь умножим:
x = \begin{pmatrix} 6 & 2 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} \ \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \end{pmatrix}.

Результат:
x = \begin{pmatrix} -\frac{6}{5} + \frac{6}{5} & \frac{18}{5} - \frac{8}{5} \ -\frac{1}{5} + 0 & \frac{3}{5} - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{10}{5} \ -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \ -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}.

Ответ: x = \begin{pmatrix} 0 & 2 \ -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}.

Задание 5: Метод Жордана-Гаусса

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Решение систем линейных уравнений

Дана система:
\begin{cases} x - y + 2z = 2, \ 3x + y - 2z = 2. \end{cases}

Запишем в виде расширенной матрицы:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 2 \ 3 & 1 & -2 & | & 2 \end{pmatrix}.

Применим метод Гаусса:

1. Из второй строки вычтем первую, умноженную на 3:
   \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 2 \ 0 & 4 & -8 & | & -4 \end{pmatrix}.

2. Поделим вторую строку на 4:
   \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 2 \ 0 & 1 & -2 & | & -1 \end{pmatrix}.

3. К первой строке прибавим вторую:
   \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \ 0 & 1 & -2 & | & -1 \end{pmatrix}.

Ответ:
x = 1, \, y = -1, \, z = t, \, t \in \mathbb{R}.

Задание 6: Уравнение прямой

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Уравнение прямой

Дана точка A(-2, 0) и прямая 2x - 4y + 1 = 0.

Направляющий вектор прямой: \mathbf{v} = (2, -4).

Уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной данной:
2(x + 2) - 4y = 0.

Раскроем скобки:
2x - 4y + 4 = 0.

Ответ: 2x - 4y + 4 = 0.

Задание 7: Точка пересечения прямой и плоскости

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Прямая и плоскость

Прямая:
x = -t - 1, \, y = 2t - 2, \, z = 3t.

Плоскость:
x + 2y - 2z + 5 = 0.

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости:
(-t - 1) + 2(2t - 2) - 2(3t) + 5 = 0.

Раскроем скобки:
-t - 1 + 4t - 4 - 6t + 5 = 0.

Упростим:
-3t = 0 \, \Rightarrow \, t = 0.

Подставим t = 0 в уравнения прямой:
x = -1, \, y = -2, \, z = 0.

Ответ: Точка пересечения: (-1, -2, 0).