Уравнение гиперболы

Задание относится к дисциплине "Аналитическая геометрия"

Тема — уравнение гиперболы. Необходимо решить 5-й пункт задания:

Дано:

• Уравнение асимптот для гиперболы: \( y = \pm \frac{4}{3}x \)
• Расстояние между директрисами равно \( 12 \cdot \frac{4}{5} \)

Найдем уравнение гиперболы.

Шаг 1. Уравнение асимптот

У асимптот гиперболы уравнение имеет вид \( y = \pm \frac{b}{a}x \), где \( a \) и \( b \) — параметры главной и мнимой осей гиперболы соответственно.

Из уравнения асимптот: \[\frac{b}{a} = \frac{4}{3}\]

Таким образом, \( b = \frac{4}{3}a \).

Шаг 2. Найдём расстояние между директрисами

Расстояние между директрисами для гиперболы вычисляется по формуле: \[\frac{2a}{e}\]

где \( a \) — величина главной полуоси, а \( e \) — эксцентриситет.

По условию, расстояние между директрисами равно \( 12 \cdot \frac{4}{5} = \frac{48}{5} \). Запишем уравнение:

\[\frac{2a}{e} = \frac{48}{5}\]

Отсюда: \[a = \frac{24}{5}e\]

Шаг 3. Найдём эксцентриситет

Для гиперболы выполняется следующая связь: \[e = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}\]

Подставляем \( b = \frac{4}{3}a \):

\[e = \frac{\sqrt{a^2 + \left(\frac{4}{3}a\right)^2}}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + \frac{16}{9}a^2}}{a} = \frac{\sqrt{\frac{25}{9}a^2}}{a} = \frac{5}{3}\]

Шаг 4. Найдём \( a \)

Подставим значение эксцентриситета в уравнение для \( a \):

\[a = \frac{24}{5} \cdot \frac{5}{3} = 8\]

Шаг 5. Найдём \( b \)

Теперь найдём \( b \), зная, что \( b = \frac{4}{3}a \):

\[b = \frac{4}{3} \cdot 8 = \frac{32}{3}\]

Шаг 6. Уравнение гиперболы

Уравнение гиперболы с центром в начале координат, фокусами на оси \( x \), имеет вид:

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]

Подставляем значения \( a \) и \( b \):

\[\frac{x^2}{8^2} - \frac{y^2}{\left(\frac{32}{3}\right)^2} = 1\]

Получаем:

\[\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{\frac{1024}{9}} = 1\]

Умножим обе части на 64:

\[x^2 - \frac{64 \cdot y^2}{\frac{1024}{9}} = 64\]

Итоговое уравнение:

\[\boxed{\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{\frac{1024}{9}} = 1}\]