Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку, и перпендикулярной заданной прямой

Предмет и раздел предмета:

Условие:

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку \( A(1, -1, -1) \), и перпендикулярной заданной прямой: \[ \frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z + 2}{4}. \]

Решение:

1. Напомним общее уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости в пространстве записывается как: \[ Ax + By + Cz + D = 0, \] где \( (A, B, C) \) — это нормальный вектор плоскости, который перпендикулярен плоскости.

2. Как найти нормальный вектор плоскости?

Так как плоскость перпендикулярна заданной прямой, то направляющий вектор прямой (\( \vec{d} \)) будет являться нормальным вектором плоскости. Направляющий вектор прямой можно найти из коэффициентов дробей: \[ \vec{d} = (2, -3, 4). \]

Таким образом, нормальный вектор плоскости: \[ \vec{n} = (2, -3, 4). \]

3. Уравнение плоскости через точку:

Уравнение плоскости можно записать через точку \( A(x_0, y_0, z_0) \) и её нормальный вектор \( (A, B, C) \) как: \[ 2(x - 1) - 3(y + 1) + 4(z + 1) = 0, \] где \( x_0 = 1, y_0 = -1, z_0 = -1 \).

4. Упростим уравнение:

Раскроем скобки: \[ 2x - 2 - 3y - 3 + 4z + 4 = 0. \]

Приведём подобные слагаемые: \[ 2x - 3y + 4z - 1 = 0. \]

Ответ:

Искомое уравнение плоскости: \[ 2x - 3y + 4z - 1 = 0. \]

Данное задание относится к аналитической геометрии (математика) с темой: уравнение плоскости в пространстве.