Стереометрия (геометрия в пространстве)

Предмет: Математика

Раздел: Стереометрия (геометрия в пространстве)

Дано: Вершины пирамиды с координатами \( A(3; 0; 4) \), \( B(1; -5; -2) \), \( C(2; 2; -1) \) и \( O(-2; 1; 2) \). Найти объем пирамиды \( OABC \).

Чтобы найти объем пирамиды, необходимо использовать следующую формулу для координатного пространства: \[ V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} x_O & y_O & z_O & 1 \\ x_A & y_A & z_A & 1 \\ x_B & y_B & z_B & 1 \\ x_C & y_C & z_C & 1 \end{vmatrix} \right| \]

Подставим координаты точек в определитель: \[ V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} -2 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 4 & 1 \\ 1 & -5 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} \right| \]

Рассчитаем определитель:

1. Возьмем минор первого элемента первой строки (-2): \[ -2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 & 1 \\ -5 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} \]
2. Минор второго элемента первой строки (1): \[ -1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} \]
3. Минор третьего элемента первой строки (2): \[ 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & -5 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} \]
4. Минор четвертого элемента первой строки (1): \[ 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & -5 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим каждый из этих миноров.

1. \[ \begin{vmatrix} 0 & 4 & 1 \\ -5 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} -5 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -5 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -4 \cdot (-5 - 2) +(-5 - (-2) \cdot 2 = 0 +7 -10 = 17 \] \( -2 \cdot 17 = -34 \)
2. \[ \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + 1 \cdot (1 - (-4) = 3 - 4 +(1 +4 = 8 \] \( -1 \cdot 8 = -8 \)
3. \[ \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & -5 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} -5 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot 7 +11 = -27 \] \( 2 \cdot -27 = -54 \)
4. \[ \begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & -5 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = -3 \cdot (-5 -(-4) +(4 \cdot 12 = 11 = 27 \] \( 27 \cdot 1 = 27 \)

Сложив все определители матрицы и умножив на \(\frac{1}{6}\), получаем: \[ V = \frac{1}{6} \left| -34 - 8- 54 + 27 \right| = 85.5 \]

Таким образом, объем пирамиды \( OABC \) составляет \( V = 13,5 \) кубических единиц.