Составьте уравнения прямых, параллельных прямой -2*X+y+5=0 и отстоящих от точки a(1;-2) на расстояний √ 20

Данное задание относится к предмету "Алгебра" и его разделу "Аналитическая геометрия".

Шаг 1: Приведение уравнения прямой к общему виду

Дано уравнение прямой: \[ -2X + y + 5 = 0 \]

Шаг 2: Понимание направления параллельных прямых

Прямые параллельны, если их нормали коллинеарны, то есть коэффициенты при X и Y одинаковы. Следовательно, уравнения прямых, которые параллельны данной, примут вид: \[ -2X + y + C = 0 \] где \( C \) - разные константы.

Шаг 3: Использование формулы расстояния от точки до прямой

Расстояние \( d \) от точки \( A(x_1, y_1) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) рассчитывается по формуле: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Шаг 4: Подстановка значений

В нашем случае точка A(1, -2), уравнение \(-2X + Y + C = 0\), и расстояние \(\sqrt{20}\). 1. Коэффициенты A, B и константа C для параллельных прямых: \[ A = -2, \quad B = 1 \] \[ \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Подставив в формулу для расстояния \(d\): \[ \sqrt{20} = \frac{|-2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + C|}{\sqrt{5}} \]

Шаг 5: Решение уравнения на \(C\)

Для нахождения \(C\): \[ \sqrt{20} = \frac{|-2 - 2 + C|}{\sqrt{5}} \] \[ \sqrt{20} = \frac{|C - 4|}{\sqrt{5}} \] Умножив обе части уравнения на \( \sqrt{5} \): \[ \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = |C - 4| \] \[ \sqrt{100} = |C - 4| \] \[ 10 = |C - 4| \] Отсюда у нас два решения: 1. \( C - 4 = 10 \) или \( C = 14 \) 2. \( C - 4 = -10 \) или \( C = -6 \)

Шаг 6: Запись уравнений прямых

Находим уравнения прямых: 1. Для \( C = 14 \): \[ -2X + Y + 14 = 0 \] 2. Для \( C = -6 \): \[ -2X + Y - 6 = 0 \]

Итог

Мы получили два уравнения прямых, параллельных данной и отстоящих от точки A(1, -2) на расстоянии \(\sqrt{20}\): 1.\(-2X + Y + 14 = 0\) 2.\(-2X + Y - 6 = 0\) Эти прямые удовлетворяют всем условиям задачи.