Составить уравнение высоты, проведённой из вершины А, найти длину этой высоты

Предмет: Геометрия. Раздел: Координатная геометрия. Треугольники в декартовой системе координат.

Шаг 1: Определим, какие характеристики нужно найти.

Нам нужно составить уравнение высоты треугольника, проведённой из вершины \( A(-4, -3) \). Высота треугольника — это отрезок, проведённый из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне. Для нас эта противоположная сторона — это прямая, проходящая через точки \( B(2, -1) \) и \( C(1, 4) \). Задача состоит в следующем:

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки \( B \) и \( C \).
2. Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой \( BC \) и проходящей через точку \( A \) (высота).
3. Найти длину этой высоты.

Шаг 2: Найдём уравнение прямой \( BC \).

Для нахождения уравнения прямой через две точки, воспользуемся уравнением прямой в виде:

\[ y - y_1 = k(x - x_1), \]

где \( k \) — это угловой коэффициент прямой, а \((x_1, y_1)\) — координаты одной из точек на прямой. Сначала найдём угловой коэффициент \( k \) для прямой \( BC \). Он равен:

\[ k = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{4 - (-1)}{1 - 2} = \frac{5}{-1} = -5. \]

Теперь составим уравнение прямой через точку \( B(2, -1) \). Подставляем значения \( k = -5 \), \( x_1 = 2 \), \( y_1 = -1 \) в уравнение прямой:

\[ y - (-1) = -5(x - 2), \]

\[ y + 1 = -5(x - 2), \]

\[ y + 1 = -5x + 10, \]

\[ y = -5x + 9. \]

Итак, уравнение прямой, проходящей через точки \( B \) и \( C \), имеет вид:

\[ y = -5x + 9. \]

Шаг 3: Найдём уравнение высоты.

Высота перпендикулярна стороне \( BC \), а значит, её угловой коэффициент будет обратным по величине и противоположным по знаку к угловому коэффициенту прямой \( BC \). Угловой коэффициент для высоты будет:

\[ k_{\text{высоты}} = \frac{1}{5}. \]

Теперь составим уравнение прямой, проходящей через точку \( A(-4, -3) \) и имеющей угловой коэффициент \( \frac{1}{5} \). Используем ту же формулу уравнения прямой:

\[ y - y_A = k_{\text{высоты}}(x - x_A), \]

где \((x_A, y_A) = (-4, -3)\) — точка \( A \). Подставляем значения в уравнение:

\[ y - (-3) = \frac{1}{5}(x - (-4)), \]

\[ y + 3 = \frac{1}{5}(x + 4), \]

\[ y + 3 = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}. \]

Теперь приведём к стандартному виду:

\[ y = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5} - 3 = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5} - \frac{15}{5}, \]

\[ y = \frac{1}{5}x - \frac{11}{5}. \]

Итак, уравнение высоты, проведённой из вершины \( A \), имеет вид:

\[ y = \frac{1}{5}x - \frac{11}{5}. \]

Шаг 4: Найдём длину высоты.

Для нахождения длины отрезка высоты, проведённого из точки \( A \), воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой. Прямая \( BC \) имеет уравнение \( y = -5x + 9 \), или в общем виде:

\[ 5x + y - 9 = 0. \]

Расстояние \( d \) от точки \( A(x_1, y_1) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) находится по формуле:

\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \]

где \( A = 5 \), \( B = 1 \), \( C = -9 \), а точка \( A(-4, -3) \). Подставляем значения в формулу:

\[ d = \frac{|5(-4) + 1(-3) - 9|}{\sqrt{5^2 + 1^2}} = \frac{|(-20) + (-3) - 9|}{\sqrt{25 + 1}} = \frac{|-32|}{\sqrt{26}} = \frac{32}{\sqrt{26}}. \]

Приведём к более удобному виду:

\[ d = \frac{32}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}} = \frac{32\sqrt{26}}{26} = \frac{16\sqrt{26}}{13}. \]

Ответ:

1. Уравнение высоты: \( y = \frac{1}{5}x - \frac{11}{5} \).
2. Длина высоты \( h_A \): \( \frac{16\sqrt{26}}{13} \).

Итак, длина высоты \( h_A \), проведённой из точки \( A \), равна \( \frac{16\sqrt{26}}{13} \).