Составить уравнение высоты, проведённой из вершины

Давайте решим задачу вместе и разберем все шаги подробно.

---

Предмет: геометрия
Раздел: аналитическая геометрия, уравнение прямой, высоты треугольника

---

Задача:

Даны координаты вершин треугольника \( A(5; -4) \), \( B(1; -2) \), \( C(-3; 2) \). Нужно составить уравнение высоты \( CH \), проведённой из вершины \( C \).

---

Разбор задачи:

1. Что такое высота треугольника? Высота — это отрезок, проведённый из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне. Уравнение высоты будет задаваться как уравнение прямой.
2. Ключевой шаг в решении: Чтобы составить уравнение высоты \( CH \), нужно:
   • Найти уравнение стороны \( AB \), так как высота \( CH \) перпендикулярна стороне \( AB \).
   • Использовать свойства перпендикулярности, чтобы найти наклон высоты \( CH \).
   • Найти уравнение прямой через точку \( C(-3; 2) \), которая будет высотой \( CH \).

---

Шаг 1. Уравнение прямой \( AB \)

Для начала определим уравнение стороны \( AB \). Уравнение прямой в общем виде: \[ y - y_1 = k(x - x_1), \] где \( k \) — угловой коэффициент (наклон прямой), \( (x_1, y_1) \) — одна из точек прямой.

Вычислим угловой коэффициент \( k_{AB} \):

Формула для нахождения наклона прямой через две точки:

\[ k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}. \]

Подставим координаты точек \( A(5; -4) \) и \( B(1; -2) \):

\[ k_{AB} = \frac{-2 - (-4)}{1 - 5} = \frac{-2 + 4}{1 - 5} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}. \]

Итак, наклон прямой \( AB \):

\[ k_{AB} = -\frac{1}{2}. \]

Теперь подставим наклон \( k_{AB} \) и координаты любой точки на этой прямой (например, возьмём точку \( A(5; -4) \)) в уравнение прямой:

\[ y - y_1 = k(x - x_1), \]
\[ y - (-4) = -\frac{1}{2}(x - 5), \]
\[ y + 4 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}. \]
\[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} - 4, \]
\[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}. \]

Итак, уравнение прямой \( AB \):

\[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}. \]

---

Шаг 2. Угловой коэффициент высоты \( CH \)

Высота \( CH \) перпендикулярна стороне \( AB \). Угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых связаны формулой:

\[ k_1 \cdot k_2 = -1, \]

где \( k_1 \) — наклон одной прямой, а \( k_2 \) — наклон другой прямой.

Так как \( k_{AB} = -\frac{1}{2} \), найдём наклон \( k_{CH} \):

\[ -\frac{1}{2} \cdot k_{CH} = -1, \]
\[ k_{CH} = 2. \]

Итак, наклон высоты \( CH \):

\[ k_{CH} = 2. \]

---

Шаг 3. Уравнение высоты \( CH \)

Теперь мы знаем, что высота \( CH \) проходит через точку \( C(-3; 2) \) и имеет наклон \( k_{CH} = 2 \). Уравнение прямой:

\[ y - y_1 = k(x - x_1), \]

где \( (x_1, y_1) = (-3, 2) \) и \( k = 2 \).

Подставим:

\[ y - 2 = 2(x - (-3)), \]
\[ y - 2 = 2(x + 3), \]
\[ y - 2 = 2x + 6, \]
\[ y = 2x + 6 + 2, \]
\[ y = 2x + 8. \] \[ y = 2x + 8. \]

---

Ответ:

Уравнение высоты \( CH \), проведённой из вершины \( C(-3; 2) \) перпендикулярно стороне \( AB \):

\[ y = 2x + 8. \]