Составить уравнение высоты, опущенной на грань

Предмет: Математика Раздел: Аналитическая геометрия в пространстве

Задача:

Даны вершины:

• \( A_1 (2; -3; -1) \),
• \( A_2 (5; 4; 2) \),
• \( A_3 (-1; -4; 3) \),
• \( A_4 (-5; 1; 0) \).

Нужно:

1. Составить уравнение высоты \( A_4H \), опущенной из \( A_4 \) на грань \( A_1A_2A_3 \).
2. Вычислить длину высоты \( A_4H \).
3. Найти угол между плоскостями \( A_1A_2A_3 \) и плоскостью, проходящей через прямую \( A_4M \) и вершину \( A_3 \), где \( A_4M \) — это медиана треугольника \( A_1A_2A_3 \).

Шаг 1: Уравнение плоскости треугольника \( A_1A_2A_3 \)

Мы для начала найдём уравнение плоскости, проходящей через три точки \( A_1, A_2, A_3 \). Для этого найдём векторное нормальное уравнение плоскости:

1. Запишем координаты точек: \[ A_1 (2; -3; -1), \quad A_2 (5; 4; 2), \quad A_3 (-1; -4; 3) \]
2. Найдём два направляющие вектора: \[ \overrightarrow{A_1A_2} = A_2 - A_1 = (5 - 2; 4 - (-3); 2 - (-1)) = (3; 7; 3), \] \[ \overrightarrow{A_1A_3} = A_3 - A_1 = (-1 - 2; -4 - (-3); 3 - (-1)) = (-3; -1; 4). \]
3. Для получения нормального вектора плоскости \( \vec{n} \), найдём векторное произведение векторов \( \overrightarrow{A_1A_2} \) и \( \overrightarrow{A_1A_3} \): \[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} \] Найдём определитель: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 7 & 3 \\ -3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = i \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} - j \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} + k \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} \] Теперь посчитаем миноры: \[ \vec{n}_1 = 7 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) = 28 + 3 = 31, \] \[ \vec{n}_2 = 3 \cdot 4 - 3 \cdot (-3) = 12 + 9 = 21, \] \[ \vec{n}_3 = 3 \cdot (-1) - 7 \cdot (-3) = -3 + 21 = 18. \] Следовательно, нормальный вектор: \[ \vec{n} = (31; -21; 18). \]
4. Уравнение плоскости имеет вид: \[ 31(x - A_{1x}) + (-21)(y - A_{1y}) + 18(z - A_{1z}) = 0, \] подставляем координаты \( A_1(2; -3; -1) \): \[ 31(x - 2) - 21(y + 3) + 18(z + 1) = 0, \] раскрываем скобки: \[ 31x - 62 - 21y - 63 + 18z + 18 = 0, \] \[ 31x - 21y + 18z - 107 = 0. \]

Так, уравнение плоскости \( A_1A_2A_3 \) будет:

\[ 31x - 21y + 18z = 107. \]

Шаг 2: Уравнение высоты \( A_4H \)

Высота \( A_4H \) перпендикулярна плоскости \( A_1A_2A_3 \), а значит, её направляющий вектор совпадает с нормальным вектором плоскости \( \vec{n} = (31; -21; 18) \).

1. Составим вектор направления прямой \( A_4H \), который будет \( (31t; -21t; 18t) \).
2. Прямая \( A_4H \) проходит через точку \( A_4(-5; 1; 0) \), поэтому каноническое уравнение прямой будет: \[ \frac{x + 5}{31} = \frac{y - 1}{-21} = \frac{z - 0}{18}. \]

Шаг 3: Длина высоты \( A_4H \)

Длина высоты — это расстояние от точки \( A_4 \) до плоскости \( A_1A_2A_3 \). Формула расстояния:

\[ d = \frac{|Ax_4 + By_4 + Cz_4 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}. \]

Подставляем коэффициенты плоскости \( A = 31 \), \( B = -21 \), \( C = 18 \), \( D = -107 \) и координаты точки \( A_4(-5; 1; 0) \):

\[ d = \frac{|31(-5) - 21(1) + 18(0) - 107|}{\sqrt{31^2 + (-21)^2 + 18^2}} = \frac{| -155 - 21 - 107 |}{\sqrt{961 + 441 + 324}} = \frac{283}{\sqrt{1726}} \approx \frac{283}{41.54} \approx 6.81. \]

Таким образом, длина высоты \( A_4H \) приблизительно равна \( 6.81 \).

Шаг 4: Угол между плоскостями

Для нахождения угла между плоскостями \( A_1A_2A_3 \) и плоскостью, проходящей через прямую \( A_4M \) и вершину \( A_3 \), найдём нормальный вектор второй плоскости.

1. Точка \( M \) — это середина отрезка \( A_1A_2 \). Координаты середины: \[ M = \left( \frac{A_{1x} + A_{2x}}{2}, \frac{A_{1y} + A_{2y}}{2}, \frac{A_{1z} + A_{2z}}{2} \right) = \left( \frac{2 + 5}{2}, \frac{-3 + 4}{2}, \frac{-1 + 2}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right). \]
2. Второй нормальный вектор найдём по точкам \( A_4, A_3, M \). Найдём два вектора: \[ \overrightarrow{A_4A_3} = A_3 - A_4 = (-1 - (-5); -4 - 1; 3 - 0) = (4; -5; 3), \] \[ \overrightarrow{A_4M} = M - A_4 = \left( \frac{7}{2} - (-5), \frac{1}{2} - 1, \frac{1}{2} - 0 \right) = \left( \frac{7}{2} + \frac{10}{2}, \frac{1}{2} - \frac{2}{2}, \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{17}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right). \]

Ответы:

1. Уравнение высоты \( A_4H \): \( \frac{x + 5}{31} = \frac{y - 1}{-21} = \frac{z}{18} \).
2. Длина высоты \( A_4H \): \( \approx 6.81 \).
3. Угол между плоскостями найдётся косинусом угла двух нормалей \( \vec{n_1} \) и \( \vec{n_2} \).

Теперь находим угол между плоскостями, используя формулу для косинуса угла двух нормалей.