Предмет: Алгебра (или Аналитическая геометрия)
Раздел: Прямые на плоскости, уравнения прямых
Задание:
Составить уравнение прямой, проходящей через точку \( A(3; -4) \), являющейся основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую.
Порядок решения:
- Что требуется?
Нам необходимо составить уравнение прямой, проходящей через точку \( A(3; -4) \) и являющейся основанием перпендикуляра из начала координат \( O(0; 0) \) на эту прямую. То есть, прямая, которую нужно найти, перпендикулярна вектору, направленному от начала координат к точке \( A(3; -4) \).
- Найдем направление перпендикуляра.
Для начала найдём уравнение вектора \( \overrightarrow{OA} \), соединяющего начало координат с точкой \( A \). Координаты вектора будут такими же, как координаты точки \( A \), то есть:
\[ \overrightarrow{OA} = (3, -4) \]
Таким образом, направление вектора \( \overrightarrow{OA} \) — это \( (3, -4) \).
- Направляющий вектор искомой прямой.
Учитывая, что искомая прямая является перпендикуляром, её направляющий вектор должен быть перпендикулярен вектору \( \overrightarrow{OA} \). Для этого мы используем свойство векторов: если два вектора перпендикулярны, произведение их направляющих косинусов (скалярное произведение) равно нулю. Направляющий вектор прямой, перпендикулярной вектору \( (3, -4) \), будет \( (-4, -3) \). Это изменение связано с тем, что если дан вектор \( (a, b) \), то перпендикулярный к нему вектор — это \( (-b, a) \).
- Уравнение прямой.
Уравнение прямой находится по формуле:
\[ Ax + By + C = 0 \]
где \( A \) и \( B \) — это координаты направляющего вектора, а \( C \) находят по точке, через которую проходит прямая. В итоге:
\[ -4x - 3y + C = 0 \]
- Нахождение \( C \) через точку \( A(3; -4) \).
Подставляем координаты точки \( A(3; -4) \) в уравнение:
\[ -4 \cdot 3 - 3 \cdot (-4) + C = 0 \]
\[ -12 + 12 + C = 0 \]
\[ C = 0 \]
- Окончательное уравнение прямой.
Таким образом, окончательное уравнение прямой:
\[ -4x - 3y = 0 \]
или, чтобы избавиться от минусов:
\[ 4x + 3y = 0 \]
Ответ: