Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Задача: Составить уравнение прямой, проходящей через точку \( A(3; -4) \), являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат (точка \( O(0, 0) \)) на эту прямую.
У нас есть точка \( O(0, 0) \) — начало координат, и точка \( A(3, -4) \), через которую проходит прямая, являющаяся основанием перпендикуляра. Направляющий вектор перпендикуляра можно найти по координатам точки \( A \). Это вектор \( \vec{OA} = (3, -4) \).
Теперь нам нужно составить уравнение прямой, перпендикулярной вектору \( \vec{OA} \). Перпендикулярность векторов означает, что направление нормали прямой будет взаимно обратным и противоположным вектору \( \vec{OA} \).
Для начала найдем угол наклона этой прямой.
Для прямой, проходящей через точки \( A(3, -4) \) и \( O(0, 0) \), угловой коэффициент \( k_1 \) можно найти как отношение изменений по оси \( y \) к изменениям по оси \( x \):
\[ k_1 = \frac{-4 - 0}{3 - 0} = \frac{-4}{3} \]
Следовательно, угловой коэффициент \( k_1 = -\frac{4}{3} \).
Так как требуемая прямая перпендикулярна этой прямой, угловой коэффициент перпендикуляра \( k_2 \) будет взаимно обратным и с противоположным знаком:
\[ k_2 = \frac{3}{4} \]
Теперь составим уравнение прямой в общем виде, используя формулу:
\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]
где \( k = \frac{3}{4} \), а \( A(3, -4) \) — точка, через которую проходит прямая \( (x_1 = 3, y_1 = -4) \).
Подставляем значения в уравнение:
\[ y - (-4) = \frac{3}{4}(x - 3) \]
Упрощаем уравнение:
\[ y + 4 = \frac{3}{4}(x - 3) \]
Умножаем обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:
\[ 4(y + 4) = 3(x - 3) \]
Раскрываем скобки:
\[ 4y + 16 = 3x - 9 \]
Переносим все слагаемые в одну сторону:
\[ 4y - 3x + 25 = 0 \]
Уравнение прямой, проходящей через точку \( A(3, -4) \) и перпендикулярной вектору \( \vec{OA} \), имеет вид:
\[ 3x - 4y - 25 = 0 \]