Составить уравнение прямой на которой лежит высота c d опущенная из вершины на сторону a b и определить длину высоты

Предмет: Геометрия

Раздел: Аналитическая геометрия

Для решения задачи найдем уравнение прямой, на которой лежит высота (CD), опущенная из вершины (C(-6; 0)) на сторону (AB), а также определим длину этой высоты.

---

1. Уравнение стороны (AB)

Вершины (A(-10; -12)) и (B(-3; 12)) задают прямую, уравнение которой можно найти по формуле общего уравнения прямой через две точки:

\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}, \end{formula> где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) — координаты точек \(A\) и \(B\). Подставляем координаты: \[ \frac{y - (-12)}{12 - (-12)} = \frac{x - (-10)}{-3 - (-10)} \] Упростим: \[ \frac{y + 12}{24} = \frac{x + 10}{7}. \] Перепишем в общем виде: \[ 7(y + 12) = 24(x + 10). \] Раскрываем скобки: \[ 7y + 84 = 24x + 240. \] Приведем к стандартному виду уравнения прямой: \[ 24x - 7y - 156 = 0. \] Итак, уравнение стороны \(AB\): 24x - 7y - 156 = 0. \end{formula> --- #### 2. Уравнение высоты \(CD\) Высота \(CD\) перпендикулярна стороне \(AB\), поэтому угловой коэффициент прямой \(CD\) является отрицательной обратной величиной углового коэффициента прямой \(AB\). 1. Найдем угловой коэффициент прямой \(AB\): Угловой коэффициент прямой \(k\) находится как отношение разности \(y\)-координат к разности \(x\)-координат: k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \end{formula> Подставляем координаты: \[ k_{AB} = \frac{12 - (-12)}{-3 - (-10)} = \frac{24}{7}. \] 2. Угловой коэффициент прямой \(CD\) будет: k_{CD} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{\frac{24}{7}} = -\frac{7}{24}. \end{formula> 3. Уравнение прямой \(CD\) имеет вид: y - y_C = k_{CD}(x - x_C), \end{formula> где \((x_C, y_C) = (-6; 0)\). Подставляем: \[ y - 0 = -\frac{7}{24}(x - (-6)). \] Упростим: \[ y = -\frac{7}{24}(x + 6). \] Раскрываем скобки: \[ y = -\frac{7}{24}x - \frac{42}{24}. \] Сократим дробь: \[ y = -\frac{7}{24}x - \frac{7}{4}. \] Приведем к общему виду: \[ 7x + 24y + 42 = 0. \] Итак, уравнение высоты \(CD\): 7x + 24y + 42 = 0. \end{formula> --- #### 3. Длина высоты \(CD\) Длина перпендикуляра от точки \(C(-6; 0)\) до прямой \(AB\) находится по формуле: d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \end{formula> где \(Ax + By + C = 0\) — уравнение прямой (\(A = 24\), \(B = -7\), \(C = -156\)), а \((x_1, y_1)\) — координаты точки \(C(-6; 0)\). Подставляем значения: \[ d = \frac{|24(-6) + (-7)(0) - 156|}{\sqrt{24^2 + (-7)^2}}. \] В числителе: \[ |24(-6) - 156| = |-144 - 156| = |-300| = 300. \] В знаменателе: \[ \sqrt{24^2 + (-7)^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25. \] Итак: \[ d = \frac{300}{25} = 12. \] --- #### Ответ: 1. Уравнение высоты \(CD\): 7x + 24y + 42 = 0. \end{formula> 2. Длина высоты \(CD\): d = 12. \end{formula>