Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору, а также параметрическое уравнение медианы

Предмет: Аналитическая геометрия

Задание: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку \( A(-4; -2; 5) \) перпендикулярно вектору \( BC \), а также параметрическое уравнение медианы \( BD \).

Решение:

1. Составление уравнения плоскости, проходящей через точку \( A \) и перпендикулярной вектору \( BC \).

Шаг 1: Найдём координаты вектора \( \overrightarrow{BC} \).

Для этого из координат точки \( C(9; 3; -7) \) вычитаем координаты точки \( B(3; -3; -7) \):

\[ \overrightarrow{BC} = (9 - 3,\, 3 - (-3),\, -7 - (-7)) = (6, 6, 0) \]

Шаг 2: Уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

где \( (A, B, C) \) — это нормальный (перпендикулярный) вектор плоскости. В данном случае нормальный вектор совпадает с вектором \( \overrightarrow{BC} = (6, 6, 0) \).

Тогда уравнение плоскости будет иметь вид:

\[ 6(x + 4) + 6(y + 2) + 0(z - 5) = 0 \]

Упростим выражение:

\[ 6x + 24 + 6y + 12 = 0 \]

\[ 6x + 6y + 36 = 0 \]

Сократим на 6:

\[ x + y + 6 = 0 \]

Уравнение плоскости: \( x + y + 6 = 0 \).

2. Параметрическое уравнение медианы \( BD \).

Медиана в треугольнике — это отрезок, соединяющий вершину треугольника со средней точкой противоположной стороны.

Шаг 1: Найдём координаты середины отрезка \( AC \).

Середина \( D \) отрезка \( AC \) найдётся по формуле:

\[ D_x = \frac{-4 + 9}{2} = \frac{5}{2}, \quad D_y = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2}, \quad D_z = \frac{5 + (-7)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Итак, \( D\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, -1\right) \).

Шаг 2: Параметрическое уравнение прямой \( BD \).

Уравнение прямой задается в параметрической форме:

\[ x = x_B + t(x_D - x_B) \]

\[ y = y_B + t(y_D - y_B) \]

\[ z = z_B + t(z_D - z_B) \]

Подставляем координаты точек \( B(3; -3; -7) \) и \( D\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, -1\right) \):

\[ x = 3 + t\left(\frac{5}{2} - 3\right) = 3 + t\left(\frac{-1}{2}\right) = 3 - \frac{t}{2} \]

\[ y = -3 + t\left(\frac{1}{2} - (-3)\right) = -3 + t\left(\frac{7}{2}\right) = -3 + \frac{7}{2}t \]

\[ z = -7 + t\left(-1 - (-7)\right) = -7 + t(6) = -7 + 6t \]

Итак, параметрическое уравнение медианы \( BD \):

Ответ:

• Уравнение плоскости: \( x + y + 6 = 0 \)
• Параметрическое уравнение медианы \( BD \): \[ \begin{cases} x = 3 - \frac{1}{2}t \\ y = -3 + \frac{7}{2}t \\ z = -7 + 6t \end{cases} \]