Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору, а также параметрическое уравнение медианы

Предмет: Аналитическая геометрия

Задание: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $\text{(}A(-4;-2;5)\text{)}$ перпендикулярно вектору $\text{(}BC\text{)}$, а также параметрическое уравнение медианы $\text{(}BD\text{)}$.

Решение:

1. Составление уравнения плоскости, проходящей через точку $\text{(}A\text{)}$ и перпендикулярной вектору $\text{(}BC\text{)}$.

Шаг 1: Найдём координаты вектора $\text{(}\overrightarrow{BC}\text{)}$.

Для этого из координат точки $\text{(}C(9;3;-7)\text{)}$ вычитаем координаты точки $\text{(}B(3;-3;-7)\text{)}$:

$\text{[}\overrightarrow{BC}=(9-3,3-(-3),-7-(-7))=(6,6,0)\text{]}$

Шаг 2: Уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

$\text{[}Ax+By+Cz+D=0\text{]}$

где $\text{(}(A,B,C)\text{)}$ — это нормальный (перпендикулярный) вектор плоскости. В данном случае нормальный вектор совпадает с вектором $\text{(}\overrightarrow{BC}=(6,6,0)\text{)}$.

Тогда уравнение плоскости будет иметь вид:

$\text{[}6(x+4)+6(y+2)+0(z-5)=0\text{]}$

Упростим выражение:

$\text{[}6x+24+6y+12=0\text{]}$

$\text{[}6x+6y+36=0\text{]}$

Сократим на 6:

$\text{[}x+y+6=0\text{]}$

Уравнение плоскости: $\text{(}x+y+6=0\text{)}$.

2. Параметрическое уравнение медианы $\text{(}BD\text{)}$.

Медиана в треугольнике — это отрезок, соединяющий вершину треугольника со средней точкой противоположной стороны.

Шаг 1: Найдём координаты середины отрезка $\text{(}AC\text{)}$.

Середина $\text{(}D\text{)}$ отрезка $\text{(}AC\text{)}$ найдётся по формуле:

$\text{[}{D}_x=\frac{-4+9}{2}=\frac{5}{2},D_y=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2},D_z=\frac{5+(-7)}{2}=\frac{-2}{2}=-1\text{]}$

Итак, $\text{(}D(\frac{5}{2},\frac{1}{2},-1)\text{)}$.

Шаг 2: Параметрическое уравнение прямой $\text{(}BD\text{)}$.

Уравнение прямой задается в параметрической форме:

$\text{[}x=x_B+t(x_D-x_B)\text{]}$

$\text{[}y=y_B+t(y_D-y_B)\text{]}$

$\text{[}z=z_B+t(z_D-z_B)\text{]}$

Подставляем координаты точек $\text{(}B(3;-3;-7)\text{)}$ и $\text{(}D(\frac{5}{2},\frac{1}{2},-1)\text{)}$:

$\text{[}x=3+t(\frac{5}{2}-3)=3+t\left(\frac{-1}{2}\right)=3-\frac{t}{2}\text{]}$

$\text{[}y=-3+t(\frac{1}{2}-(-3))=-3+t\left(\frac{7}{2}\right)=-3+\frac{7}{2}t\text{]}$

$\text{[}z=-7+t(-1-(-7))=-7+t(6)=-7+6t\text{]}$

Итак, параметрическое уравнение медианы $\text{(}BD\text{)}$:

Ответ:

• Уравнение плоскости: $\text{(}x+y+6=0\text{)}$
• Параметрическое уравнение медианы $\text{(}BD\text{)}$: $\text{[}\{\begin{array}{l}x=3-\frac{1}{2}t\\ y=-3+\frac{7}{2}t\\ z=-7+6t\end{array}\text{]}$